Ma7.4.2.3 – Kongruenzsatz – Winkel-Seite-Winkel

Der Kongruenzsatz Winkel-Seite-Winkel (WSW) besagt, dass zwei Dreiecke zueinander kongruent sind, wenn sie einen Winkel, die anliegende Seite und einen weiteren Winkel jeweils gleich haben.

Konkret bedeutet das folgendes:

• Wenn zwei Dreiecke den gleichen Winkel, die anliegende Seite und einen weiteren Winkel jeweils gleich haben, dann sind die Dreiecke kongruent.

Dieser Kongruenzsatz ermöglicht es uns, die Kongruenz von Dreiecken anhand von Winkeln und Seitenlängen zu bestimmen. Wenn wir die gegebenen Informationen über die Winkel und Seiten der Dreiecke haben, können wir den Kongruenzsatz WSW anwenden, um festzustellen, ob die Dreiecke kongruent sind oder nicht.

Beispiel:

Entscheide, welche der vier Dreiecke kongruent zueinander sind, ohne diese zu zeichnen.

\begin{align*}
&\triangle ABC \textrm{ mit }&& c = 4 \ cm; α = 40°; β  = 50°\\ \\
&\triangle A'B'C' \textrm{ mit }&& b=4 \ cm; α = 50°; γ  = 40° \\ \\
&\triangle A''B''C'' \textrm{ mit }&& b=4 \ cm; α = 40°; β  = 90° \\ \\
&\triangle A'''B'''C''' \textrm{ mit }&& a=4 \ cm; α = 40°; γ  = 40° 
\end{align*}

Übung/Arbeitsauftrag

Bearbeite die Aufgaben.

Anleitung

Aufgabe 1:

Konstruiere die Dreiecke ABC nach dem Kongruenzsatz WSW.

1. Seite a = 10 cm, Winkel γ = 30° und Winkel α = 90°.
2. Seite b = 8 cm, Winkel α = 60° und Winkel γ = 45°.
3. Seite c = 12 cm, Winkel α = 45° und Winkel β = 90°.
4. Seite a = 6 cm, Winkel γ = 60° und Winkel β = 45°.
5. Seite b = 7 cm, Winkel α = 45° und Winkel γ = 60°.
6. Seite c = 9 cm, Winkel α = 30° und Winkel β = 60°.
7. Seite a = 8 cm, Winkel γ = 90° und Winkel β = 60°.
8. Seite b = 6 cm, Winkel α = 60° und Winkel γ = 45°.
9. Seite c = 10 cm, Winkel α = 45° und Winkel β = 30°.
10. Seite a = 7 cm, Winkel γ = 90° und Winkel β = 60°.
11. Seite b = 9 cm, Winkel α = 30° und Winkel γ = 45°.
12. Seite c = 8 cm, Winkel α = 60° und Winkel β = 90°.
13. Seite a = 6 cm, Winkel γ = 30° und Winkel α = 90°.
14. Seite b = 7 cm, Winkel α = 45° und Winkel γ = 60°.
15. Seite c = 9 cm, Winkel α = 60° und Winkel β = 30°.
16. Seite a = 10 cm, Winkel γ = 90° und Winkel β = 60°.
17. Seite b = 8 cm, Winkel α = 30° und Winkel γ = 45°.
18. Seite c = 7 cm, Winkel α = 45° und Winkel β = 30°.
19. Seite a = 9 cm, Winkel γ = 60° und Winkel α = 90°.
20. Seite b = 6 cm, Winkel α = 60° und Winkel γ = 45°.

Aufgabe 2:

Entscheide und begründe, ob die Dreiecke nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent sind oder ob die Angaben nicht eindeutig sind. Fertige jeweils die Planfiguren an, um deine Entscheidung zu bestätigen.

1. Dreieck ABC: Seite a = 5 cm, γ = 30°, α = 60°
   Dreieck XYZ: Seite x = 5 cm, ∠Y = 30°, ∠Z = 60°
2. Dreieck ABC: Seite b = 7 cm, α = 90°, β = 45°
   Dreieck XYZ: Seite y = 7 cm, ∠Y = 90°, ∠Z = 45°
3. Dreieck ABC: Seite c = 8 cm, α = 60°, β = 30°
   Dreieck XYZ: Seite z = 8 cm, ∠Y = 60°, ∠Z = 30°
4. Dreieck ABC: Seite a = 6 cm, γ = 90°, β = 45°
   Dreieck XYZ: Seite x = 6 cm, ∠Y = 90°, ∠Z = 45°
5. Dreieck ABC: Seite b = 7 cm, α = 45°, γ = 60°
   Dreieck XYZ: Seite y = 7 cm, ∠Y = 45°, ∠Z = 60°
6. Dreieck ABC: Seite a = 9 cm, γ = 60°, β = 30°
   Dreieck XYZ: Seite x = 9 cm, ∠Y = 60°, ∠Z = 30°
7. Dreieck ABC: Seite c = 10 cm, α = 45°, β = 90°
   Dreieck XYZ: Seite z = 10 cm, ∠Y = 45°, ∠Z = 90°
8. Dreieck ABC: Seite a = 12 cm, γ = 30°, α = 45°
   Dreieck XYZ: Seite x = 12 cm, ∠Y = 30°, ∠Z = 45°
9. Dreieck ABC: Seite b = 8 cm, α = 60°, β = 90°
   Dreieck XYZ: Seite y = 8 cm, ∠Y = 60°, ∠Z = 90°
10. Dreieck ABC: Seite c = 7 cm, α = 45°, β = 60°
    Dreieck XYZ: Seite z = 7 cm, ∠Y = 45°, ∠Z = 60°