Ma7.4.2.4 – Kongruenzsatz – Seite-Seite-Winkel

Mathematik, Informatik, Medien und Digitalisierung > Mathematik > Ma7 – Klasse 7 > Ma7.4 – Planimetrie [28] > Ma7.4.2.4 – Kongruenzsatz – Seite-Seite-Winkel

Inhaltsverzeichnis

Einstieg

Wir betrachten erneut die Rampen von Erwin und Edgar.

Edgars Rampe:

Erwins Rampe:

Du weißt mittlerweile, dass die Angabe von drei Seiten ausreicht, um das Dreieck zu konstruieren (SSS). Außerdem genügt die Angabe zweier Winkel und einer beliebigen Seite, um das gleiche Ziel zu erreichen (WSW). Bei der Angabe von zwei Seiten benötigen wir bisher den Winkel, der zwischen den Dreiecksseiten liegt (SWS).

Ist es ausreichend einen beliebigen Winkel der anderen und zwei Seiten zu kennen?

Konstruiere die Rampe mit den Angaben c = 10 cm, b = 6cm und γ = 81°.

Konstruiere die Rampe mit den Angaben c = 10 cm, b = 6cm und β = 36°.

Formuliere deine Erkenntnis in jeweils ganzen Sätzen!

Bildquelle: https://www.facebook.com/pwsoffroad.bike/
Bildquelle: https://www.etsy.com/de/listing/1205409876/lauchr-rampe-gerade-rampe-portable

c = 10 cm, b = 6cm und γ = 81°

c = 10 cm, b = 6cm und β = 36°

Definition: Kongruenzsatz Seite-Seite-Winkel ()


Der Kongruenzsatz Seite-Seite-Winkel (SsW) besagt, dass zwei Dreiecke zueinander kongruent sind, wenn sie in zwei Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite übereinstimmen.

Sollte der Winkel gegenüber der kürzeren Seite gegeben sein, ist die Dreieckskonstruktion nicht eindeutig!

Beispiel:

Entscheide, welche der vier Dreiecke kongruent zueinander sind, ohne diese zu zeichnen.

\begin{align*}
&\triangle ABC \textrm{ mit }&& c = 10 \ cm; b = 6 \ cm; γ = 81°\\ \\
&\triangle A'B'C' \textrm{ mit }&& c = 10 \ cm; a = 6 \ cm; γ = 81°\\ \\
&\triangle A''B''C'' \textrm{ mit }&& c = 10 \ cm; b = 6 \ cm; β = 36°\\ \\
&\triangle A'''B'''C''' \textrm{ mit }&& a = 10 \ cm; b = 6 \ cm; α = 81°
\end{align*}

Winkel gegenüber der längeren Seite (eindeutig):

Winkel gegenüber der kürzeren Seite (nicht eindeutig):

Konstruieren mithilfe der Kongruenzsätze

[BILD]

Übung/Arbeitsauftrag

Bearbeite die Aufgaben.

Anleitung

Konstruktion-WSWHerunterladen

Aufgabe 1:

Konstruiere die Dreiecke ABC nach dem Kongruenzsatz SsW, falls eindeutig möglich.

  1. Seite a = 8 cm, Seite b = 6 cm und Winkel α = 45°.
  2. Seite b = 12 cm, Seite c = 5 cm und Winkel β = 30°.
  3. Seite c = 7 cm, Seite a = 9 cm und Winkel γ = 60°.
  4. Seite a = 10 cm, Seite b = 3 cm und Winkel α = 40°.
  5. Seite b = 9 cm, Seite c = 4 cm und Winkel β = 75°.
  6. Seite c = 6 cm, Seite a = 8 cm und Winkel α = 50°.
  7. Seite a = 5 cm, Seite b = 12 cm und Winkel α = 65°.
  8. Seite b = 11 cm, Seite c = 7 cm und Winkel β = 55°.
  9. Seite c = 4 cm, Seite a = 10 cm und Winkel α = 75°.
  10. Seite a = 6 cm, Seite b = 9 cm und Winkel β = 70°.
  11. Seite b = 8 cm, Seite c = 5 cm und Winkel γ = 25°.
  12. Seite c = 11 cm, Seite a = 3 cm und Winkel γ = 40°.
  13. Seite a = 7 cm, Seite b = 11 cm und Winkel α = 80°.
  14. Seite b = 9 cm, Seite c = 6 cm und Winkel β = 30°.
  15. Seite c = 4 cm, Seite a = 7 cm und Winkel α = 50°.
  16. Seite a = 10 cm, Seite b = 8 cm und Winkel β = 65°.
  17. Seite b = 5 cm, Seite c = 9 cm und Winkel β = 55°.
  18. Seite c = 6 cm, Seite a = 11 cm und Winkel α = 70°.
  19. Seite a = 8 cm, Seite b = 4 cm und Winkel α = 45°.
  20. Seite b = 3 cm, Seite c = 6 cm und Winkel β = 30°.

Aufgabe 2:

Entscheide und begründe, ob die Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SsW eindeutig sind oder ob die Angaben nicht eindeutig sind. Fertige jeweils die Planfiguren an, um deine Entscheidung zu bestätigen.

  1. Seite a = 8 cm, Seite b = 6 cm und Winkel α = 45°.
  2. Seite b = 12 cm, Seite c = 5 cm und Winkel β = 30°.
  3. Seite c = 7 cm, Seite a = 9 cm und Winkel γ = 60°.
  4. Seite a = 10 cm, Seite b = 3 cm und Winkel α = 40°.
  5. Seite b = 4 cm, Seite c = 4 cm und Winkel β = 90°.
  6. Seite c = 6 cm, Seite a = 8 cm und Winkel α = 50°.
  7. Seite a = 5 cm, Seite b = 12 cm und Winkel α = 65°.
  8. Seite b = 11 cm, Seite c = 7 cm und Winkel β = 55°.
  9. Seite c = 4 cm, Seite a = 10 cm und Winkel α = 75°.
  10. Seite c = 6 cm, Seite b = 9 cm und Winkel β = 70°.

Ergebnissicherung/Lösung

Sicherung

Beantworte die 5 Fragen für dich im Heft. Die Antworten sind grundsätzlich unter Zuhilfenahme mathematischer Sätze zu begründen!

  1. Welche Informationen werden benötigt, um die Kongruenz von zwei Dreiecken nach dem SsW-Kongruenzsatz festzustellen?
  2. Was besagt der SsW-Kongruenzsatz über die Übereinstimmung der Dreiecke?
  3. Wenn die Seitenlängen und ein nicht eingeschlossener Winkel eines Dreiecks gegeben sind, können wir dann ein eindeutiges, kongruentes Dreieck konstruieren?
  4. Gibt es Fälle, in denen zwei Dreiecke gleiche Seitenlängen und den gleichen Winkel haben, aber nicht kongruent sind? Wenn ja, warum?

Symbolübersicht

🏫 => Aufgaben für Schülerinnen und Schüler mit Förderbedarf „Lernen“

📚 => Aufgaben für Schülerinnen und Schüler der Regionalen Schule

🎓 => Aufgaben für Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums