Ma7.4.2.1 – Kongruenzsatz – Seite-Seite-Seite

Kongruenz ist ein Begriff in der Geometrie, der beschreibt, wenn zwei geometrische Figuren genau gleich sind. Wenn zwei Figuren kongruent sind, bedeutet das, dass sie in Form und Größe übereinstimmen. Das heißt, alle Seitenlängen und Winkelmaße der beiden Figuren sind gleich.

Um zu zeigen, dass zwei Figuren kongruent sind, müssen alle ihre Seitenlängen und Winkelmaße übereinstimmen. Man kann dies durch direktes Vergleichen der Maße oder durch die Anwendung von Kongruenzsätzen, wie den Kongruenzsätzen für Dreiecke, nachweisen.

Kongruenz ist wichtig, um Ähnlichkeiten und Gleichheit in der Geometrie zu beschreiben. Wenn zwei Figuren kongruent sind, können wir sie als identisch betrachten und wissen, dass sie in allen Aspekten gleich sind. Dies ist in verschiedenen geometrischen Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen von großer Bedeutung.

Abbildungen, bei denen die Kongruenz erhalten bleibt, sind Spiegelung, Drehung und Verschiebung.

Im Falls der Kongruenz zweier Figuren schreibt man \triangle ABC \equiv \triangle XYZ oder \square ABCD \equiv \square PQRS.

Der Kongruenzsatz SSS besagt, dass wenn in zwei Dreiecken die Seitenlängen jeweils paarweise gleich sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

Es bedeutet, dass die Dreiecke in Form und Größe übereinstimmen, wenn alle drei Seitenlängen übereinstimmen.

Der Kongruenzsatz SSS ist eine Methode, um die Kongruenz von Dreiecken nachzuweisen, ohne die Winkel zu betrachten.

Beispiel:

Entscheide, welche der vier Dreiecke kongruent zueinander sind, ohne diese zu zeichnen.

\begin{align*}
&\triangle ABC \textrm{ mit }&& a=3 \ cm; b = 4 \ cm; c  = 5 \ cm\\ \\
&\triangle PQR \textrm{ mit }&& p=4 \ cm; q = 5 \ cm; r  = 3 \ cm\\ \\
&\triangle XYZ \textrm{ mit }&& x=3 \ cm; y = 5 \ cm; z  = 4 \ cm\\ \\
&\triangle A'B'C' \textrm{ mit }&& a'=5 \ cm; b' = 3 \ cm; c'  = 4 \ cm
\end{align*}

Übung/Arbeitsauftrag

Bearbeite die Aufgaben.

Anleitung

Aufgabe 1:

Übertrage in dein Heft und notiere, ob die beiden Dreiecke nach dem SSS-Kriterium kongruent sind.

\begin{align*}
\text{a)} \\
\triangle ABC &: a = 5 \textrm{ cm}, b = 7 \textrm{ cm}, c = 9 \textrm{ cm} \\
\triangle XYZ &: x = 9 \textrm{ cm}, y = 5 \textrm{ cm}, z = 7 \textrm{ cm} \\ \\
\text{b)} \\
\triangle ABC &: a = 4 \textrm{ cm}, b = 6 \textrm{ cm}, c = 8 \textrm{ cm} \\
\triangle XYZ &: x = 6 \textrm{ cm}, y = 4 \textrm{ cm}, z = 8 \textrm{ cm} \\ \\
\text{c)} \\
\triangle ABC &: a = 3 \textrm{ cm}, b = 3 \textrm{ cm}, c = 3 \textrm{ cm} \\
\triangle XYZ &: x = 3 \textrm{ cm}, y = 5 \textrm{ cm}, z = 3 \textrm{ cm} \\ \\
\text{d)} \\
\triangle ABC &: a = 10 \textrm{ cm}, b = 15 \textrm{ cm}, c = 20 \textrm{ cm} \\
\triangle XYZ &: x = 15 \textrm{ cm}, y = 10 \textrm{ cm}, z = 20 \textrm{ cm} \\ \\
\text{e)} \\
\triangle ABC &: a = 12 \textrm{ cm}, b = 16 \textrm{ cm}, c = 20 \textrm{ cm} \\
\triangle XYZ &: x = 12 \textrm{ cm}, y = 20 \textrm{ cm}, z = 16 \textrm{ cm}
\end{align*}

\begin{align*}
\text{f)} \\
\triangle ABC &: a = 9 \textrm{ cm}, b = 9 \textrm{ cm}, c = 12 \textrm{ cm} \\
\triangle XYZ &: x = 12 \textrm{ cm}, y = 9 \textrm{ cm}, z = 9 \textrm{ cm} \ \\ \\
\text{g)} \\
\triangle ABC &: a = 6 \textrm{ cm}, b = 6 \textrm{ cm}, c = 6 \textrm{ cm} \\
\triangle XYZ &: x = 6 \textrm{ cm}, y = 7 \textrm{ cm}, z = 6 \textrm{ cm} \ \\ \\
\text{h)} \\
\triangle ABC &: a = 5 \textrm{ cm}, b = 5 \textrm{ cm}, c = 10 \textrm{ cm}\\
\triangle XYZ &: x = 5 \textrm{ cm}, y = 10 \textrm{ cm}, z = 5 \textrm{ cm} \\ \\
\text{i)} \\
\triangle ABC &: a = 8 \textrm{ cm}, b = 8 \textrm{ cm}, c = 12 \textrm{ cm} \\
\triangle XYZ &: x = 8 \textrm{ cm}, y = 8 \textrm{ cm}, z = 16 \textrm{ cm} \ \\ \\
\text{j)} \\
\triangle ABC &: a = 7 \textrm{ cm}, b = 7 \textrm{ cm}, c = 7 \textrm{ cm} \\
\triangle XYZ &: x = 7 \textrm{ cm}, y = 9 \textrm{ cm}, z = 7 \textrm{ cm} \
\end{align*}

Aufgabe 2:

) Konstruiere jeweils die Dreiecke mit den gegebenen Seitenlängen auf weißes unliniertes Papier. Benutze Geodreieck und Zirkel, um präzise zu arbeiten. Fertige zunächst eine Planfigur an!

) Vergleiche mit deinem Nachbarn, indem ihr die Dreiecke übereinander legt und diese dann ins Licht haltet.

1. Dreieck A: Seitenlängen 4 cm, 5 cm, 6 cm
2. Dreieck B: Seitenlängen 7 cm, 9 cm, 11 cm
3. Dreieck C: Seitenlängen 8 cm, 8 cm, 12 cm
4. Dreieck D: Seitenlängen 5 cm, 6 cm, 9 cm
5. Dreieck E: Seitenlängen 10 cm, 10 cm, 10 cm
6. Dreieck F: Seitenlängen 3 cm, 4 cm, 5 cm
7. Dreieck G: Seitenlängen 5 cm, 10 cm, 15 cm
8. Dreieck H: Seitenlängen 6 cm, 8 cm, 10 cm
9. Dreieck I: Seitenlängen 12 cm, 15 cm, 18 cm
10. Dreieck J: Seitenlängen 9 cm, 12 cm, 15 cm

Aufgabe 3:

Konstruiere jeweils die Dreiecke mit den gegebenen Seitenlängen auf weißes unliniertes Papier. Überprüfe vor dem Zeichnen, ob diese tatsächlich konstruierbar sind. Fertige zunächst eine Planfigur an!

1. Dreieck K: Seitenlängen 7 cm, 8 cm, 9 cm
2. Dreieck L: Seitenlängen 3 cm, 3 cm, 6 cm
3. Dreieck M: Seitenlängen 10 cm, 12 cm, 14 cm
4. Dreieck N: Seitenlängen 5 cm, 10 cm, 16 cm
5. Dreieck O: Seitenlängen 6 cm, 6 cm, 13 cm
6. Dreieck P: Seitenlängen 9 cm, 10 cm, 5 cm
7. Dreieck Q: Seitenlängen 8 cm, 7 cm,15 cm
8. Dreieck R: Seitenlängen 4 cm, 5 cm, 7 cm
9. Dreieck S: Seitenlängen 6 cm, 8 cm, 12 cm
10. Dreieck T: Seitenlängen 8 cm, 12 cm, 15 cm