Ma7.4.2.2 – Kongruenzsatz – Seite-Winkel-Seite

Der Kongruenzsatz SWS besagt, dass wenn in zwei Dreiecken zwei Seitenlängen jeweils paarweise gleich sind und der dazwischen liegende Winkel ebenfalls identisch ist, dann sind die Dreiecke kongruent.

Es bedeutet, dass die Dreiecke in Form und Größe übereinstimmen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen.

Der Kongruenzsatz SWS ist eine Methode, um die Kongruenz von Dreiecken nachzuweisen, ohne die Angaben aller Dreiecksseiten zu kennen.

Beispiel:

Entscheide, welche der vier Dreiecke kongruent zueinander sind, ohne diese zu zeichnen.

\begin{align*}
&\triangle ABC \textrm{ mit }&& c=3 \ cm; b = 4 \ cm; α = 40°\\ \\
&\triangle A'B'C' \textrm{ mit }&& a=3 \ cm; b = 4 \ cm; γ  = 40° \\ \\
&\triangle A''B''C'' \textrm{ mit }&& a=3 \ cm; b = 4 \ cm; β  = 40° \\ \\
&\triangle A'''B'''C''' \textrm{ mit }&& a=4 \ cm; b = 3 \ cm; γ  = 40° 
\end{align*}

Übung/Arbeitsauftrag

Bearbeite die Aufgaben.

Anleitung

Aufgabe 1:

Konstruiere die Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SWS.

1. Seite a = 5 cm, Seite b = 6 cm und Winkel γ = 60°.
2. Seite b = 8 cm, Seite c = 8 cm und Winkel α = 90°.
3. Seite a = 4 cm, Seite c = 4 cm und Winkel β = 45°.
4. Seite a = 10 cm, Seite c = 15 cm und Winkel β = 30°.
5. Seite b = 7 cm, Seite c = 7 cm und Winkel α = 90°.
6. Seite a = 6 cm, Seite b = 7 cm und Winkel γ = 45°.
7. Seite a = 3 cm, Seite b = 5 cm und Winkel γ = 60°.
8. Seite b = 9 cm, Seite c = 9 cm und Winkel α = 60°.
9. Seite a = 12 cm, Seite b = 16 cm und Winkel γ = 30°.
10. Seite a = 6 cm, Seite c = 6 cm und Winkel β = 60°.
11. Seite a = 7 cm, Seite b = 9 cm und Winkel γ = 45°.
12. Seite b = 12 cm, Seite c = 15 cm und Winkel α = 60°.
13. Seite a = 6 cm, Seite c = 8 cm und Winkel β = 30°.
14. Seite a = 5 cm, Seite b = 5 cm und Winkel γ = 90°.
15. Seite b = 10 cm, Seite c = 14 cm und Winkel α = 45°.
16. Seite a = 8 cm, Seite c = 10 cm und Winkel β = 60°.
17. Seite a = 4 cm, Seite b = 6 cm und Winkel γ = 30°.
18. Seite b = 7 cm, Seite c = 7 cm und Winkel α = 90°.
19. Seite a = 9 cm, Seite c = 12 cm und Winkel β = 45°.
20. Seite a = 6 cm, Seite b = 8 cm und Winkel γ = 30°.

Aufgabe 2:

Entscheide und begründe, ob die Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent sind oder ob die Angaben nicht eindeutig sind. Fertige jeweils die Planfiguren an, um deine Entscheidung zu bestätigen.

1. Dreieck ABC: Seite AB = 5 cm, Seite BC = 7 cm, Winkel ∠B = 60°
   Dreieck XYZ: Seite XY = 5 cm, Seite YZ = 7 cm, Winkel ∠Y = 60°
2. Dreieck ABC: Seite AC = 4 cm, Seite BC = 6 cm, Winkel ∠C = 90°
   Dreieck XYZ: Seite XZ = 6 cm, Seite YZ = 4 cm, Winkel ∠Z = 90°
3. Dreieck ABC: Seite AC = 3 cm, Seite AB = 3 cm, Winkel ∠A = 60°
   Dreieck XYZ: Seite ZY = 3 cm, Seite XY = 5 cm, Winkel ∠Y = 60°
4. Dreieck ABC: Seite BC = 10 cm, Seite AC = 15 cm, Winkel ∠C = 45°
   Dreieck XYZ: Seite XY = 15 cm, Seite XZ = 10 cm, Winkel ∠X = 45°
5. Dreieck ABC: Seite AC = 12 cm, Seite BC = 16 cm, Winkel ∠C = 30°
   Dreieck XYZ: Seite XY = 12 cm, Seite XZ = 20 cm, Winkel ∠X = 30°
6. Dreieck ABC: Seite AB = 9 cm, Seite BC = 9 cm, Winkel ∠B = 90°
   Dreieck XYZ: Seite XZ = 12 cm, Seite YZ = 9 cm, Winkel ∠Z = 90°
7. Dreieck ABC: Seite BC = 6 cm, Seite AB = 6 cm, Winkel ∠B = 45°
   Dreieck XYZ: Seite XY = 6 cm, Seite ZX = 7 cm, Winkel ∠X = 45°
8. Dreieck ABC: Seite BC = 5 cm, Seite BA = 5 cm, Winkel ∠A = 60°
   Dreieck XYZ: Seite XY = 5 cm, Seite YZ = 10 cm, Winkel ∠Y = 60°
9. Dreieck ABC: Seite AB = 8 cm, Seite BC = 8 cm, Winkel ∠B = 30°
   Dreieck XYZ: Seite XZ = 8 cm, Seite YZ = 8 cm, Winkel ∠Z = 60°
10. Dreieck ABC: Seite AC = 7 cm, Seite AB = 7 cm, Winkel ∠A = 90°
    Dreieck XYZ: Seite XY = 7 cm, Seite YZ = 9 cm, Winkel ∠Y = 90°

Aufgabe 3:

Begründe, dass die Dreiecke \triangle ASC und \triangle BSD kongruent zueinander sind.

Aufgabe 4: