Wurzelgesetze
Einstieg
Auf einem Bild seht ihr zwei Kisten: Eine oberhalb der Erde mit '$100' und eine unter der Erde mit '$10,000' beschriftet.
Welche mathematischen Überlegungen oder Konzepte fallen euch ein, wenn ihr diese zwei unterschiedlich beschrifteten Kisten betrachtet? Erkläre deine Überlegungen.
Wurzel aus einem Produkt
Das erste Wurzelgesetz besagt, dass die Wurzel aus einem Produkt gleich dem Produkt der Wurzeln der Faktoren ist. Mathematisch ausgedrückt:
\[\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}\]
Beispiel:
Betrachten wir \(a = 4\) und \(b=9\):
\(\sqrt{4 \cdot 9}=\sqrt{36} = 6\)
\(\sqrt{4} \cdot \sqrt{9}= 2 \cdot 3 = 6\)
In beiden Fällen erhalten wir das Ergebnis 6.
Aufgabe 7: Schreibe ohne Wurzel.
a) \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}= \square\)
b) \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}= \square\)
c) \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}= \square\)
d) \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{24}= \square\)
e) \(\sqrt{7} \cdot \sqrt{28}= \square\)
f) \(\sqrt{4} \cdot \sqrt{16}= \square\)
g) \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}= \square\)
h) \(\sqrt{11} \cdot \sqrt{44}= \square\)
i) \(\sqrt{13} \cdot \sqrt{52}= \square\)
j) \(\sqrt{15} \cdot \sqrt{60}= \square\)
k) \(\sqrt{17} \cdot \sqrt{68}= \square\)
l) \(\sqrt{19} \cdot \sqrt{76}= \square\)
m) \(\sqrt{21} \cdot \sqrt{84}= \square\)
n) \(\sqrt{23} \cdot \sqrt{92}= \square\)
o) \(\sqrt{25} \cdot \sqrt{100}= \square\)
p) \(\sqrt{27} \cdot \sqrt{108}= \square\)
Lösung:
| 4 | 6 | 8 | 9 |
| 10 | 12 | 14 | 22 |
| 26 | 30 | 34 | 38 |
| 42 | 46 | 50 | 54 |
Wurzel aus einem Quotienten
Das zweite Wurzelgesetz besagt, dass die Wurzel aus einem Quotienten gleich dem Quotienten der Wurzeln von Zähler und Nenner ist. Mathematisch ausgedrückt:
\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\]
Beispiel:
Betrachten wir \(a = 16\) und \(b=4\):
\(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\frac{4}{2} = 2\)
\(\sqrt{\frac{16}{4}}=\sqrt{4} = 2\)
In beiden Fällen erhalten wir das Ergebnis 2.
Aufgabe 8: Schreibe unter eine Wurzel und löse den Quotienten auf. Berechne anschließend den Wert der Wurzel.
a) \( \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}= \square\)
b) \( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}= \square\)
c) \( \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}= \square\)
d) \( \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}= \square\)
e) \( \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}= \square\)
f) \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}= \square\)
g) \( \frac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}}= \square\)
h) \( \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}= \square\)
i) \( \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}= \square\)
j) \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}= \square\)
k) \( \frac{\sqrt{363}}{\sqrt{3}}= \square\)
l) \( \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}}= \square\)
m) \( \frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}= \square\)
n) \( \frac{\sqrt{243}}{\sqrt{3}}= \square\)
o) \( \frac{\sqrt{294}}{\sqrt{6}}= \square\)
p) \( \frac{\sqrt{250}}{\sqrt{10}}= \square\)
Lösung:
| 2 | 2 | 3 | 3 |
| 3 | 3 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 9 | 11 |
Potenz- und Wurzelgesetz
Dieses Gesetz verbindet Potenzen und Wurzeln. Die n-te Wurzel einer Potenz \(a^m\) ist gleich der m-ten Potenz der n-ten Wurzel von \(a\):
\[\sqrt[n]{a^m} =(\sqrt[n]{a})^m\]
Beispiel:
Betrachten wir \(a = 8\), \(m=2\) und \(n = 3\):
\(\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64} = 4\)
\((\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\)
In beiden Fällen erhalten wir das Ergebnis 4.