Sinussatz - Verhältnisgleichungen aus Winkeln und Seiten
Definition: Sinussatz
In jedem Dreieck gilt:
\[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \]
oder als Kehrwertform:
\[ \frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c} \]
Dabei gehören immer eine Seite und ihr gegenüberliegender Winkel zusammen:
\(a\) gehört zu \(\alpha\), \(b\) gehört zu \(\beta\), \(c\) gehört zu \(\gamma\).
Aufgaben / Übung
Aufgabe 2:
Berechne alle fehlenden Angaben der Dreiecke. Skizziere jeweils das Dreieck.
Es ist immer mindestens ein vollständiges Paar aus einer Seite und dem gegenüberliegenden Winkel gegeben.
Verwende:
| \[ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ \] \[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \] \[ \frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c} \] |
| a) \(a = 8 \ cm\), \(\alpha = 40^\circ\), \(\beta = 65^\circ\) | i) \(a = 13 \ cm\), \(\alpha = 52^\circ\), \(b = 10 \ cm\) |
| b) \(b = 12 \ cm\), \(\beta = 55^\circ\), \(\gamma = 70^\circ\) | j) \(b = 16 \ cm\), \(\beta = 68^\circ\), \(c = 11 \ cm\) |
| c) \(c = 10 \ cm\), \(\gamma = 48^\circ\), \(\alpha = 62^\circ\) | k) \(c = 14 \ cm\), \(\gamma = 58^\circ\), \(a = 12 \ cm\) |
| d) \(a = 15 \ cm\), \(\alpha = 72^\circ\), \(\gamma = 43^\circ\) | l) \(a = 18 \ cm\), \(\alpha = 75^\circ\), \(c = 13 \ cm\) |
| e) \(b = 9 \ cm\), \(\beta = 35^\circ\), \(\alpha = 80^\circ\) | m) \(b = 11 \ cm\), \(\beta = 42^\circ\), \(a = 9 \ cm\) |
| f) \(c = 16 \ cm\), \(\gamma = 64^\circ\), \(\beta = 51^\circ\) | n) \(c = 20 \ cm\), \(\gamma = 82^\circ\), \(b = 15 \ cm\) |
| g) \(a = 11 \ cm\), \(\alpha = 50^\circ\), \(\beta = 38^\circ\) | o) \(a = 22 \ cm\), \(\alpha = 96^\circ\), \(b = 17 \ cm\) |
| h) \(b = 14 \ cm\), \(\beta = 60^\circ\), \(\alpha = 45^\circ\) | p) \(b = 19 \ cm\), \(\beta = 88^\circ\), \(c = 16 \ cm\) |