Tangensfunktion
Aufgabe 3: Übertrage den Merkkasten und die Ergänzung in dein Heft.
Definition: Tangensfunktion
Die Tangensfunktion ist eine trigonometrische Funktion (Winkelfunktion), die jedem Winkel \(x\) einen reellen Wert zuordnet, der das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt.
Die Tangensfunktion hat Definitionslücken (Sprungstellen) bei
| Sprungstelle im Bogenmaß | Sprungstelle im Winkelmaß |
|---|---|
| \(x = \frac{1}{2}\pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}\) | \(x = 90° + k\cdot 180°, k \in \mathbb{Z}\) |
Sie ist periodisch mit der Periode \(\pi\) und spielt eine zentrale Rolle in Mathematik, Physik und Technik.
\[\Large f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\]
Wichtige Werte:
| Winkelmaß | Bogenmaß |
|---|---|
| \(\tan(0°) = 0\) | \(\tan(0) = 0\) |
| \( \tan(90°) =\) | \(\tan(\frac{1}{2}\pi) = \) |
| \(\tan(180°) = 0\) | \(\tan(\pi) = 0\) |
| \(\tan(270°) =\) | \(\tan(\frac{3}{2}\pi) =\) |
| \(\tan(360°) = 0\) | \(\tan(2\pi) = 0\) |
Der Tangens ist die Länge der Gegenkathete, bei einer festen Ankathete, um ein rechtwinkliges Dreieck zu erschließen.
Aufgabe 4:
Berechne den Funktionswert \(\tan(\alpha)\) zum angegebenen Winkel \(\alpha\).
Stelle deinen Taschenrechner auf DEG, da die Winkel im Gradmaß angegeben sind. Runde deine Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Achtung: Für manche Winkel ist der Tangenswert nicht definiert. Beispiel: \[ \tan(60^\circ)\approx 1{,}73 \] |
| a) \(\tan(0^\circ)=\square\) | i) \(\tan(160^\circ)=\square\) |
| b) \(\tan(20^\circ)=\square\) | j) \(\tan(180^\circ)=\square\) |
| c) \(\tan(40^\circ)=\square\) | k) \(\tan(240^\circ)=\square\) |
| d) \(\tan(60^\circ)=\square\) | l) \(\tan(280^\circ)=\square\) |
| e) \(\tan(80^\circ)=\square\) | m) \(\tan(300^\circ)=\square\) |
| f) \(\tan(100^\circ)=\square\) | n) \(\tan(330^\circ)=\square\) |
| g) \(\tan(120^\circ)=\square\) | o) \(\tan(360^\circ)=\square\) |
| h) \(\tan(140^\circ)=\square\) |
Aufgabe 5:
Berechne den Funktionswert \(\tan(x)\) zum angegebenen Winkel \(x\) im Bogenmaß.
Stelle deinen Taschenrechner auf RAD, da die Winkel im Bogenmaß angegeben sind. Runde deine Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Achtung: Für manche Werte ist der Tangens nicht definiert. Beispiel: \[ \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\approx 1{,}73 \] |
| a) \(\tan(0)=\square\) | f) \(\tan(\pi)=\square\) |
| b) \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\square\) | g) \(\tan(1{,}5)=\square\) |
| c) \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=\square\) | h) \(\tan(2)=\square\) |
| d) \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\square\) | i) \(\tan(2\pi)=\square\) |
| e) \(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)=\square\) |
Aufgabe 6:
Schreibe den negativen Winkel als positiven Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) und berechne anschließend den Tangenswert.
Negative Winkel werden im Uhrzeigersinn gedreht. Um einen passenden positiven Winkel zu erhalten, addierst du \(360^\circ\) so oft, bis der Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) liegt. Beispiel: \[ \tan(-30^\circ) = \tan(360^\circ-30^\circ) = \tan(330^\circ) \] Achtung: Für manche Winkel ist der Tangenswert nicht definiert. |
| a) \(\tan(-45^\circ)=\square\) | g) \(\tan(-60^\circ)=\square\) |
| b) \(\tan(-320^\circ)=\square\) | h) \(\tan(-270^\circ)=\square\) |
| c) \(\tan(-90^\circ)=\square\) | i) \(\tan(-150^\circ)=\square\) |
| d) \(\tan(-150^\circ)=\square\) | j) \(\tan(-450^\circ)=\square\) |
| e) \(\tan(-30^\circ)=\square\) | k) \(\tan(-210^\circ)=\square\) |
| f) \(\tan(-170^\circ)=\square\) | l) \(\tan(-700^\circ)=\square\) |
Aufgabe 7:
Bestimme alle Winkel \(x\) im Bereich \(0^\circ \le x \le 360^\circ\), für die der angegebene Tangenswert gilt.
Stelle deinen Taschenrechner auf DEG.
Mit dem Taschenrechner erhältst du bei \(\tan^{-1}\) zunächst einen Winkel im Bereich \(-90^\circ \le x \le 90^\circ\). Für die zweite Lösung verwendest du die Eigenschaften der Tangensfunktion. Für den Tangens gilt: \[ \tan(\alpha)=\tan(180^\circ+\alpha) \] Außerdem gilt: \[ \tan(-\alpha)=-\tan(\alpha) \] Merke: Die Tangensfunktion wiederholt sich alle \(180^\circ\). |
| Beispiele: | |
Positiver Tangenswert \[ \tan(x)=0{,}6 \] \[ x=\tan^{-1}(0{,}6)\approx 31{,}0^\circ \] \[ x_1\approx 31{,}0^\circ \] \[ x_2\approx 31{,}0^\circ+180^\circ=211{,}0^\circ \] | Negativer Tangenswert \[ \tan(x)=-0{,}6 \] \[ x=\tan^{-1}(-0{,}6)\approx -31{,}0^\circ \] Der passende positive Winkel ist: \[ x_1\approx 180^\circ-31{,}0^\circ=149{,}0^\circ \] \[ x_2\approx 360^\circ-31{,}0^\circ=329{,}0^\circ \] |
a) \(\tan(x)=0{,}5\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) | f) \(\tan(x)=0{,}342\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) |
b) \(\tan(x)=0{,}6175\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) | g) \(\tan(x)=-0{,}766\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) |
c) \(\tan(x)=-0{,}3\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) | h) \(\tan(x)=0{,}94\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) |
d) \(\tan(x)=0{,}866\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) | i) \(\tan(x)=-0{,}1736\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) |
e) \(\tan(x)=-0{,}5\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) | j) \(\tan(x)=0{,}7071\) \(x_1=\square,\quad x_2=\square\) |