Zinsen für bereits erhaltene Zinsen
Einstieg: Josefs Sparbuch in der Bank von Jerusalem
Kurz nach der Geburt von Jesus Christus eröffnet Josef ein Sparbuch bei der Bank von Jerusalem. Er legt darauf einen einzigen Eurocent (0,01 €) an. Die Bank bietet ihm einen festen Zinssatz von 5% pro Jahr, wobei die Zinsen jährlich auf das bestehende Guthaben angerechnet werden (Zinseszins-Prinzip).
Leider stirbt Jesus, bevor er jemals etwas mit dem angesparten Geld machen kann. Euer Ziel ist es, zu untersuchen, wie sich das Vermögen auf Josefs Konto entwickelt hat.
Aufgabe: Findet heraus, wie viel Geld sich auf dem Konto von Josef nach den folgenden Zeiträumen angesammelt hat:
- Nach 1 Jahr
- Nach 2 Jahren
- Nach 3 Jahren
- Nach 5 Jahren
- Nach 10 Jahren
- Nach 30 Jahren (ungefähr zum Zeitpunkt von Jesu Tod)
- Nach 100 Jahren
- Nach 200 Jahren
- Nach 300 Jahren
- …
- bis heute (nach ungefähr 2000 Jahren)
Denkt daran, dass die Zinsen nicht abgehoben werden und daher jedes Jahr erneut auf das wachsende Guthaben berechnet werden.
Hinweise:
- Überlegt euch eine mathematische Methode, mit der ihr die Berechnung anstellen könnt.
- Gibt es eine allgemeine Formel, mit der ihr das Wachstum des Sparbuchs berechnen könnt?
- Vergleicht eure Ergebnisse: Wie stark wächst das Vermögen mit der Zeit?
Viel Erfolg beim Erkunden der Zinseszins-Wirkung! 💰📈
Definition: Zinsen
Bei einfachen Zinsen wächst das Geld linear. Wenn sich das zu verzinsende Kapital nicht ändert, werden jedes Jahr die gleichen Zinsen ausgeschüttet.
Berechnung der Zinsen für ein Jahr:
\[Z = K \cdot p\%\]
Berechnung der gesamten Zinsen nach \(n\) Jahren:
\[Z_n = n \cdot K \cdot p\%\]
Kapital nach \(n\) Jahren:
\[K_n = K + Z_n\]
Karl Knauser:
Karl hebt die Zinsen jedes Jahr ab. Deshalb werden die Zinsen nicht mitverzinst.
\[ \begin{aligned} Z_5 &= 5 \cdot 10.000\,\text{€} \cdot 0{,}05 \\ Z_5 &= 2.500\,\text{€} \end{aligned} \]
Karl besitzt nach fünf Jahren \(10.000\,\text{€} + 2.500\,\text{€} = 12.500\,\text{€}\).
Definition: Zinseszins
Beim Zinseszins wächst das Geld nicht linear, sondern exponentiell. Die Zinsen bleiben auf dem Konto und werden im nächsten Jahr mitverzinst.
Kapital nach \(n\) Jahren:
\[ K_n = K \cdot (1+p\%)^n \]
Gesamte Zinsen nach \(n\) Jahren:
\[ Z_n = K_n - K \]
Merke: Beim Zinseszins wird nicht nur das ursprüngliche Kapital verzinst. Auch die Zinsen aus den Vorjahren werden wieder verzinst.
Sarah Sparfuchs:
Sarah lässt die Zinsen auf dem Konto. Deshalb werden die Zinsen mitverzinst.
\[ \begin{aligned} K_5 &= 10.000\,\text{€} \cdot 1{,}05^5 \\ K_5 &= 12.762{,}82\,\text{€} \end{aligned} \]
Sarah besitzt nach fünf Jahren \(12.762{,}82\,\text{€}\).
Jesu Rückkehr zur Bank nach 2000 Jahren
Nachdem Josef sein Geld kurz nach Jesu Geburt bei der Bank von Jerusalem angelegt hat, geschieht lange Zeit nichts. Doch nach 2000 Jahren kehrt Jesus auf die Erde zurück und geht mit seinem alten Sparbuch zur Bank, um sich die aufgelaufenen Zinsen eintragen zu lassen.
Aufgabe:
- Stellt eine Vermutung an: Wie viel Geld könnte sich in dieser langen Zeit auf dem Sparbuch angesammelt haben?
- Begründet eure Einschätzung: Wird es eher eine kleine oder eine riesige Summe sein? Warum?
- Überlegt euch eine strategische Methode, um den exakten Betrag berechnen zu können.
Lösung
Ungefähr \(195.000.000\) Weltkugeln aus purem Gold
Ungefähr \(88.000\) Sonnen aus purem Gold
Aufgaben / Übung
Ergebnissicherung
Zinseszins bedeutet, dass ihr nicht nur auf euer ursprüngliches Geld Zinsen bekommt, sondern auch auf die Zinsen, die ihr schon verdient habt. Im Vergleich zu einfachen Zinsen, wo ihr immer nur auf das Startgeld Zinsen erhaltet, führt Zinseszins dazu, dass euer Geld schneller wächst. Denn jedes Mal werden die Zinsen zum Geld dazugelegt und im nächsten Zeitraum verzinst. So wird euer Geld über die Zeit viel mehr zunehmen.