Gleichsetzungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Einstieg
Die Jugendherberge
In einer Jugendherberge gibt es Vierbettzimmer und Sechsbettzimmer zur Unterbringung von Gästen. Insgesamt stehen 42 Zimmer zur Verfügung, wobei sich die Gesamtanzahl der Betten auf 216 beläuft.
Die Aufgabe lautet: Wie viele Vierbettzimmer und wie viele Sechsbettzimmer gibt es in der Jugendherberge?
Gegebenes Problem: Eine Jugendherberge verfügt über Vierbettzimmer und Sechsbettzimmer. Insgesamt gibt es 42 Zimmer und 216 Betten. Wie viele Vierbett- und Sechsbettzimmer gibt es?
Schritt 1: Die Gleichungen aufstellen: Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, formulieren wir zwei Gleichungen basierend auf den gegebenen Informationen.
Sei "x" die Anzahl der Vierbettzimmer und "y" die Anzahl der Sechsbettzimmer.
Die Anzahl der Zimmer: \(x + y = 42\)
Die Anzahl der Betten: \(4x + 6y = 216\)
Das lineare Gleichungssystem lautet demnach:
\[\begin{align}I)&&x &+ y &&= 42\\II)&&4x &+ 6y &&= 216\end{align}\]
Schritt 2: Beide Gleichungen nach einer Variablen umstellen:
Wir stellen die erste Gleichung nach "x" um:
\(\begin{align*}I)&&x + y &= 42&|-y\\&&x &= 42 - y\end{align*}\)
Wir stellen die zweite Gleichung nach "x" um:
\(\begin{align*}II)&&4x + 6y &= 216&|-6y\\&&4x &= 216 - 6y&|:4\\&&x &= 54 - 1,5y\end{align*}\)
Das neue umgeformte Gleichungssystem lautet demnach wie folgt:
\[\begin{align}I')&&x &= 42 - y\\II')&&x &= 54 -1,5y\end{align}\]
Schritt 3: Die umgestellten Gleichungen gleichsetzen:
Da der Wert für x und y in beiden Gleichungen identisch sein soll, dürfen wir \(x = x\) oder \(y = y\) setzen:
\(I' = II':\)
\[\begin{align*}III)&& 42 - y = 54 - 1,5y\end{align*}\]
Schritt 4: Die Gleichung lösen:
Jetzt lösen wir die Gleichung nach "y" auf:
\[\begin{align*}III)&& 42 - y &= 54 - 1,5y&&|+1,5y\\ &&42 + 0,5y &= 54&&|-42\\ &&0,5y &= 12&&|\cdot 2\\&&y&= \underline{\underline{24}}\end{align*}\]
Schritt 5: Den Wert von "y" in die erste oder zweite Gleichung einsetzen, um "x" zu berechnen:
Wir setzen den Wert von "y" zurück in die erste Gleichung:
\(y \textrm{ in } I') \textrm{ einsetzen:}\)
\[x = 42 - 24 = \underline{\underline{18}}\]
Schritt 6: Die Lösungsmenge aufstellen:
\[\mathbb{L} = \left\{(18 | 24)\right\}\]
Schritt 7: Die Antwort interpretieren:
Es gibt 18 Vierbettzimmer und 24 Sechsbettzimmer in der Jugendherberge.
Gegebenes Problem: Eine Jugendherberge verfügt über Vierbettzimmer und Sechsbettzimmer. Insgesamt gibt es 42 Zimmer und 216 Betten. Wie viele Vierbett- und Sechsbettzimmer gibt es?
Sei "x" die Anzahl der Vierbettzimmer und "y" die Anzahl der Sechsbettzimmer.
\[\begin{align}I)&&x &+ y &&= 42\\II)&&4x &+ 6y &&= 216\end{align}\]
\[\begin{align*}I)&&x + y &= 42&|-y\\&&x &= 42 - y\\ \\II)&&4x + 6y &= 216&|-6y\\&&4x &= 216 - 6y&|:4\\&&x &= 54 - 1,5y\\ \\ \\ I')&&x &= 42 - y\\II')&&x &= 54 -1,5y\end{align*}\]
\(I'=II':\)
\[\begin{align*}III)&& 42 - y &= 54 - 1,5y&&|+1,5y\\ &&42 + 0,5y &= 54&&|-42\\ &&0,5y &= 12&&|\cdot 2\\&&y&= \underline{\underline{24}}\end{align*}\]
\(y \textrm{ in } I') \textrm{ einsetzen:}\)
\[x = 42 - 24 = \underline{\underline{18}}\]
\[\mathbb{L} = \left\{(18 | 24)\right\}\]
Es gibt 18 Vierbettzimmer und 24 Sechsbettzimmer in der Jugendherberge.
Am Ende dieses Lernpfades solltest du erklären können, wie man ein lineares Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren löst.
Dazu brauchst du zwei wichtige Fähigkeiten:
- Gleichungen umformen
Du solltest Gleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen so umformen können, dass dieselbe Variable in beiden Gleichungen allein steht. - Gemeinsamen Schnittpunkt rechnerisch bestimmen
Du solltest wissen, dass die Lösung eines linearen Gleichungssystems der gemeinsame Punkt beider Geraden ist. Beim Gleichsetzungsverfahren nutzt du aus, dass beide Gleichungen am Schnittpunkt denselben Wert für eine Variable haben.
Das Gleichsetzungsverfahren
Erklärung: Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren ist eine algebraische Methode zum Lösen eines linearen Gleichungssystems. Dabei werden beide Gleichungen nach derselben Variablen umgestellt und anschließend gleichgesetzt.
Schritt 1: Gleichungen erkennen
Schreibe beide Gleichungen auf und bringe sie in eine gemeinsame Form.
Schritt 2: Nach derselben Variablen umformen
Stelle beide Gleichungen nach derselben Variablen um, zum Beispiel nach \(y\).
Schritt 3: Gleichsetzen
Setze die beiden Terme gleich, da sie denselben Wert für die umgestellte Variable beschreiben.
Schritt 4: Erste Variable berechnen
Löse die entstandene Gleichung nach der verbleibenden Variablen.
Schritt 5: Zweite Variable berechnen
Setze den berechneten Wert in eine der umgestellten Gleichungen ein.
Schritt 6: Lösung angeben und prüfen
Gib die Lösung als Zahlenpaar an und überprüfe sie durch Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen.
Die Lösung des Gleichungssystems ist der gemeinsame Schnittpunkt der beiden linearen Funktionen.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Verwende das Gleichsetzungsverfahren, um die linearen Gleichungsssteme zu lösen
a) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x + 3y = 4\\II)& -2x + -2y = 8 \end{array}\right|\)
b) \(\left|\begin{array}{lc}I)&2x - 2y = 4\\II)& 3x - 2y = 16 \end{array}\right|\)
c) \(\left|\begin{array}{lc}I)&4x + y = -5\\II)& 2x - 4y = 20 \end{array}\right|\)
d) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x - y = -8\\II)& x + y = 22 \end{array}\right|\)
e) \(\left|\begin{array}{lc}I)&-1,5x - 2y = 11\\II)& x + 3y = -4 \end{array}\right|\)
f) \(\left|\begin{array}{lc}I)&2x - y = 2\\II)& -x + 2y = 11 \end{array}\right|\)
g) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x + 4y = 13\\II)& 2x -8y = 10 \end{array}\right|\)
h) \(\left|\begin{array}{lc}I)&3x + y = 20\\II)& 3x - y = -2 \end{array}\right|\)
i) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x + y = -10\\II)& -3x - y = 16 \end{array}\right|\)
j) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x - 2y = 2\\II)& 0,5x + y = 13 \end{array}\right|\)
Lösungen zu Aufgabe 1:
| x | y |
|---|---|
| -10, -8, -3, 0, 3, 5, 7, 9, 12, 14 | -7, -5, 1, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 15 |
Aufgabe 2: Löse mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens.
a) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x +2y = 9\\II)& -2x -2y = 16 \end{array}\right|\)
b) \(\left|\begin{array}{lc}I)&-x - 2y = -14\\II)& x - y = -52 \end{array}\right|\)
c) \(\left|\begin{array}{lc}I)&3x -2y = 0\\II)& x + y = 10 \end{array}\right|\)
d) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x - y = -56\\II)& x + y = 20 \end{array}\right|\)
e) \(\left|\begin{array}{lc}I)&0,25x + y = 8\\II)& -x + 2y = 2 \end{array}\right|\)
f) \(\left|\begin{array}{lc}I)&2x + y = 5\\II)& -x - y = -20 \end{array}\right|\)
g) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x + y = 9\\II)& 2x - 2y = 134 \end{array}\right|\)
h) \(\left|\begin{array}{lc}I)&2x + y = 10\\II)& 3x + 2y = 4 \end{array}\right|\)
i) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x + 2y = -6\\II)& -x - y = -12 \end{array}\right|\)
j) \(\left|\begin{array}{lc}I)&2x + y = 2\\II)& x - y = 43 \end{array}\right|\)
Lösungen zu Aufgabe 2:
| x | y |
|---|---|
| -30, -28, -25, -20, -18, -15, 15, 16, 30, 38 | -29, -28, -22, -18, 15, 17, 22, 30, 35, 38, |
Aufgabe 3: ??
a) Überlege dir fünf Zahlenpaare (x|y) mit \(-20 < x,y < 20\) und schreibe sie auf.
b) Schreibe auf einen extra Zettel 5 Gleichungssysteme, die je eine dieser Lösungen erfüllen.
c) Tausche die Gleichungssysteme mit deinem Arbeitspartner aus und löse die LGS des Partners.
Beispiel: (3|5) als gewähltes Zahlenpaar.
Notiere zwei Gleichungen der Form \(ax + by = c\). Wähle für \(a\) und \(b\) beliebige Faktoren und berechne dein \(c\).
\(I) 2x + 3y = 2\cdot 3+ 3 \cdot 5 = 6 + 15 = 21\)
\(\Rightarrow 2x + 3y = 21\)
\(II) 3x - y = 3\cdot 3- 5 = 9 - 5 = 4\)
\(\Rightarrow 3x - y = 4\)
dein LGS lautet daher:
\(\begin{array}{lc}I)&2x + 3y = 21\\II)& 3x - y = 4 \end{array}\)
Aufgabe 4 (Die Kaffeemischung): Ein Kaffeegeschäft verkauft zwei Kaffeesorten: Arabica und Robusta. Für eine Mischung sollen 4 kg Arabica-Kaffee und 2 kg Robusta-Kaffee verwendet werden. Der Gesamtpreis der Mischung beträgt 36 €, und der Preis pro Kilogramm Arabica-Kaffee beträgt 8 €, während der Preis pro Kilogramm Robusta-Kaffee 6 € beträgt. Wie viel Kilogramm von jeder Sorte werden in der Mischung verwendet?
Aufgabe 5 (Die Bücherbestellung): Ein Bücherladen kauft sowohl Romane als auch Sachbücher. Für eine bevorstehende Bestellung sollen 20 Bücher insgesamt gekauft werden. Wenn die Kosten für 3 Romane und 2 Sachbücher 80 € betragen und die Kosten für 5 Romane und 5 Sachbücher 150 € betragen, wie viel kostet ein einzelnes Buch jeder Art?
Aufgabe 6 (Die Weinsorten): Ein Weingut stellt zwei verschiedene Weinsorten her: Rotwein und Weißwein. Die Produktion von 1 Liter Rotwein erfordert 2 kg Trauben und 0,5 kg Äpfel, während die Produktion von 1 Liter Weißwein 1 kg Trauben und 0,25 kg Äpfel erfordert. Für eine Partie von 50 Litern Rotwein und 50 Litern Weißwein werden insgesamt 100 kg Trauben und 37,5 kg Äpfel benötigt. Wie viel Liter jeder Sorte wird hergestellt?
Aufgabe 7 (Die Klassenkasse): In einer Schulklasse gibt es sowohl Schüler als auch Lehrer. Jeder Schüler zahlt 5 € in die Klassenkasse, während jeder Lehrer 10 € einzahlt. Wenn insgesamt 30 Personen in der Klasse sind und der Gesamtbetrag in der Klassenkasse 180 € beträgt, wie viele Schüler und wie viele Lehrer sind in der Klasse?
Aufgabe 8 (Die Kinokarten): Ein Kino verkauft sowohl Kinder- als auch Erwachsenenkarten. Der Preis für eine Kinderkarte beträgt 6 €, und der Preis für eine Erwachsenenkarte beträgt 10 €. An einem Tag wurden 120 Tickets verkauft, und der Gesamterlös betrug 1100 €. Wie viele Kinder- und wie viele Erwachsenenkarten wurden verkauft?
Aufgabe 9 (Die Schulsportarten): Eine Schule bietet zwei Sportarten an: Fußball und Basketball. 60 Schüler nehmen am Fußballtraining teil, während 45 Schüler am Basketballtraining teilnehmen. Wenn insgesamt 90 Schüler in den beiden Sportarten aktiv sind und kein Schüler an beiden Sportarten teilnimmt, wie viele Schüler nehmen nur am Fußballtraining teil und wie viele nur am Basketballtraining?
Aufgabe 10 (Die Fruchtsaftmischung): Ein Fruchtsaftmischer verwendet Orangen und Äpfel um eine Mischung herzustellen. 10 Äpfel und 5 Orangen geben insgesamt 1250 ml Saft. Für einen Tetrapack mit einem Liter Multivitaminsaft werden 7 Orangen un 5 Äpfel gemischt, wobei hier ein Probierrest von 50 ml übrig bleibt.
Aufgabe 11 (Die Kreditkartenabrechnung): Ein Kreditkarteninhaber hat zwei Kreditkarten mit unterschiedlichen Zinssätzen. Die erste Karte hat einen Zinssatz von 15% pro Jahr, und die zweite Karte hat einen Zinssatz von 20% pro Jahr. Wenn der Inhaber insgesamt 500 € Zinsen für ein Jahr bezahlen muss und der Zinsbetrag auf der ersten Karte doppelt so hoch ist wie auf der zweiten Karte, wie viel Schulden hat der Inhaber auf jeder Karte?
Aufgabe 12 (Die Sportartikel): Ein Sportgeschäft verkauft Fußbälle und Basketbälle. Für die gleiche Anzahl von Fußbällen und Basketbällen beträgt der Gesamtpreis 120 €. Wenn der Preis eines Fußballs 10 € beträgt und der Preis eines Basketballs 15 € beträgt, wie viele Fußbälle und wie viele Basketbälle wurden gekauft?