Gemeinsame Vielfache und das kleinste gemeinsame Vielfache
Einstieg
Mario möchte ein großes Festmahl für seine Freunde im Pilzkönigreich kochen.
Auf dem Menü steht eine dreifarbige Gemüsepfanne – dafür braucht er Feuerblumen (wie Karotten), Sternfrüchte (wie Paprika) und 1-Up-Pilze (wie Brokkoli).
Doch Mario hat ein Problem:
- Die Feuerblumen gibt es nur in 1000-g-Beuteln,
- die Sternfrüchte nur in 300-g-Portionen,
- und die 1-Up-Pilze nur in 400-g-Päckchen.
Mario möchte alle drei Zutaten so einkaufen, dass er von jeder Sorte genau gleich viel hat – damit die Gemüsepfanne perfekt ausgewogen wird.
Fragen:
- Wie viel Gramm muss Mario von jeder Zutat mindestens einkaufen?
- Wie viele Beutel Feuerblumen, wie viele Portionen Sternfrüchte und wie viele Päckchen 1-Up-Pilze braucht er dafür?
Um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Mengen zu finden, beginne damit, die Vielfachen für jede der Mengen aufzustellen. Schreibe die Vielfachen der Karotten, Paprika und Brokkoli auf.
Sobald du die Vielfachen für jede Menge aufgestellt hast, suche nach den gemeinsamen Vielfachen in den Listen. Welche Gewichtsmengen kommen in allen drei Listen vor?
Identifiziere das kleinste gemeinsame Vielfache, das in allen drei Listen vorkommt. Dies wird die optimale Gewichtsmenge für jede Zutat sein, um sicherzustellen, dass keine Ressourcen übrig bleiben und alle Zutaten in gleichen Mengen verwendet werden können.
Um sicherzustellen, dass keine Ressourcen übrig bleiben und alle Zutaten in gleichen Mengen verwendet werden, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der drei gegebenen Mengen (1000 g Karotten, 300 g Paprika und 400 g Brokkoli) finden.
Wir beginnen damit, die Vielfachen für jede der Mengen aufzustellen:
- Vielfache von 1000: 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, ...
- Vielfache von 300: 300, 600, 900, 1200, 1500, ...
- Vielfache von 400: 400, 800, 1200, 1600, ...
Jetzt suchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache, das in allen drei Listen vorkommt:
- Das kleinste gemeinsame Vielfache, das in allen drei Listen vorkommt, ist 6000 g.
Das bedeutet, um keine Ressourcen übrig zu lassen und alle Zutaten in gleichen Mengen zu verwenden, müsst ihr jeweils 6000 Gramm Karotten, Paprika und Brokkoli kaufen. Damit könnt ihr euer Rezept zubereiten, ohne Verschwendung.
Merkkasten [TIMER:600]
Aufgabe 1: Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Definition: kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen ist die kleinste positive natürliche Zahl, die Vielfaches von allen diesen Zahlen gleichzeitig ist.
Es gilt \[kgV(a,b) = kgV(b,a)\]
Das kleinste gemeinsame Vielfacher zweier Zahlen ist höchstens so hoch, wie das Produkt dieser beiden Zahlen.
\[kgV(a,b) \leq a \cdot b\]
Beispiel
\[kgV(3,4) = 12\]
\[kgV(2,8) = 8\]
\[kgV(10,25) = 50\]
Aufgaben / Übung [TIMER:1200]
Aufgabe 1: Bestimme das kgV mithilfe der Vielfachenmengen.
| a) \(kgV(6, 8)=\square\) | b) \(kgV(10, 15)=\square\) |
| c) \(kgV(18, 24)=\square\) | d) \(kgV(21, 28)=\square\) |
| e) \(kgV(9, 12)=\square\) | f) \(kgV(14, 35)=\square\) |
| g) \(kgV(25, 30)=\square\) | h) \(kgV(27, 36)=\square\) |
| i) \(kgV(20, 45)=\square\) | j) \(kgV(16, 48)=\square\) |
| k) \(kgV(7, 14)=\square\) | l) \(kgV(22, 44)=\square\) |
Aufgabe 2: Bestimme das kgV der drei Zahlen, indem du jeweils die Vielfachenmenge aufstellst.
| a) \(kgV(4, 6, 10)=\square\) | b) \(kgV(12, 18, 24)=\square\) |
| c) \(kgV(15, 20, 30)=\square\) | d) \(kgV(8, 12, 16)=\square\) |
| e) \(kgV(27, 36, 45)=\square\) | f) \(kgV(21, 28, 35)=\square\) |
| g) \(kgV(9, 15, 27)=\square\) | h) \(kgV(14, 21, 28)=\square\) |