Primfaktorzerlegung
Wiederholung / Übung [TIMER:720]
Multiplikationen, bei denen mehrere Faktoren identisch sind, können als Potenz zusammengefasst werden.
Aufgabe 1 (): Fasse die Ausdrücke zu Potenzen zusammen.
| Beispiel: \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 \quad\textrm{ oder }\quad 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4\) |
| a) \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^\square\) | d) \(m \cdot m \cdot m \cdot m = m^\square\) | g) \(a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^\square\) |
| b) \(7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^\square\) | e) \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^\square\) | h) \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^\square\) |
| c) \(4 \cdot 4 = 4^\square\) | f) \(b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b = b^\square\) | i) \(2 \cdot z \cdot z \cdot 2 \cdot z \cdot 2 \cdot z = 2^\square\cdot z^\square\) |
Aufgabe 2 (): Berechne den Termwert.
| Beispiel: \(3^2 \cdot 4^3 = 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 9 \cdot 64 = 576\) |
| a) \(2^9 = \square\) | d) \(5^2 \cdot 2^5 = \square\) | g) \(2^6 \cdot 3^3 = \square\) |
| b) \(5^6 = \square\) | e) \(7^3 = \square\) | h) \(9^2 \cdot 2^5 = \square\) |
| c) \(3^5 = \square\) | f) \(4^3 \cdot 4^2 = \square\) | i) \(8^2 \cdot 7^2 = \square\) |
Aufgabe 3 (): Fasse die Terme zusammen.
| Beispiel: \(z^2 \cdot z^3 = z^5\) |
| a) \(a^3 \cdot a^5 = \square\) | d) \(b^5 \cdot b^3 = \square\) | g) \(e^3 \cdot e^5 = \square\) |
| b) \(x^6 \cdot x^3 = \square\) | e) \(c^2 \cdot c^7 = \square\) | h) \(f^4 \cdot f^2 = \square\) |
| c) \(y^4 \cdot y^2 = \square\) | f) \(d^8 \cdot d^1 = \square\) | i) \(g^1 \cdot g^9 = \square\) |
Merkkasten [TIMER:600]
Aufgabe 4: Übertrage den Merkkasten, den Hinweis und das Beispiel in dein Heft.
Definition: Fundamentalsatz der Arithmetik
Jede natürliche Zahl größer als 1 ist entweder selbst eine Primzahl oder kann als Produkt von Primzahlen (Primfaktoren) dargestellt werden.
Die Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren heißt Primfaktorzerlegung.
Beispiel
| Zahl ist Primzahl | Zahl ist keine Primzahl |
|---|---|
\(2\) \(7\) \(11\) | \(39 = 3 \cdot 13\) \(32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5\) \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\) |
Hinweis
Die Primfaktorzerlegung ist eindeutig mit der Ausnahme der Reihenfolge der Faktoren.
Beispiel
| \(40\) | \(= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\) | \(= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2\) | \(= 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2\) | \(= 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) |
Zerlegung in Primfaktoren (Algorithmus)
|
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| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1\) | \(420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1\) | \(150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2\) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
Aufgabe 5: Primfaktorzerlegung von 48.
a) Zerlege die Zahl 48 in ihre Primfaktoren.
b) Schreibe die Primfaktorzerlegung von 48 in der Form \(48 = 2^a \cdot 3^b\).
c) Bestimme die Teilermenge von 48.
Aufgabe 6: Primfaktorzerlegung von 90.
a) Zerlege die Zahl 90 in ihre Primfaktoren.
b) Schreibe die Primfaktorzerlegung von 90 in der Form \(90 = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c\).
c) Berechne den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 90 und 54.
Aufgabe 7: Primfaktorzerlegung von 75.
a) Zerlege die Zahl 75 in ihre Primfaktoren.
b) Schreibe die Primfaktorzerlegung von 75 in der Form \(75 = 3^a \cdot 5^b\).
c) Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 75 und 120.
Aufgabe 8: Primfaktorzerlegung von 144.
a) Zerlege die Zahl 144 in ihre Primfaktoren.
b) Schreibe die Primfaktorzerlegung von 144 in der Form \(144 = 2^a \cdot 3^b\).
c*) Berechne die Quadratwurzel von 144. Die Quadratwurzel einer Zahl ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder genau diese Zahl ergibt.
d*) Beschreibe, wie man mithilfe der Primfaktorzerlegung die Quadratwurzel bestimmen kann.
Aufgabe 9: Primfaktorzerlegung von 210.
a) Zerlege die Zahl 210 in ihre Primfaktoren.
b) Schreibe die Primfaktorzerlegung von 210 in der Form \(210 = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d\).
c) Berechne den ggT von 210 und 315.
Merkkasten und Aufgaben / Übung [TIMER:1020]
Aufeinanderfolgende natürliche Zahlen
Zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen \(n\) und \(n+1\) sind immer teilerfremd. \(n\) und \(n+1\) besitzen keine gemeinsamen Primfaktoren und der \(ggT(n,n+1) = 1\).
Erklärung
Nehmen wir an, dass \(n\) einen Teiler \(d\) hat, der größer als 1 ist. Dann ist \(n\) ein Vielfaches von \(d\), also \(n = k \cdot d\) für eine ganze Zahl \(k\). Das nächste Auftreten des Teilers \(d\) ist erst wieder bei \(n+d\). Das bedeutet, dass \(n+1\) nicht durch \(d\) teilbar sein kann.
Beispiel:
| \(45 = 3 \cdot 3 \cdot 5\) | \(99 = 3 \cdot 3 \cdot 11\) |
| \(46 = 2 \cdot 23\) | \(100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5\) |
Aufgabe 10: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Aufgabe 11 (): Zerlege jeweils in Primfaktoren und bestimme den ggT der beiden Zahlen.
| a) 14 und 15 | f) 80 und 81 |
| b) 20 und 21 | g) 98 und 99 |
| c) 34 und 35 | h) 110 und 111 |
| d) 48 und 49 | i) 126 und 127 |
| e) 62 und 63 | j) 140 und 141 |
Aufgabe 12 (): Zerlege in Primfaktoren.
| a) 209 und 210 | f) 279 und 280 |
| b) 219 und 220 | g) 300 und 301 |
| c) 234 und 235 | h) 320 und 321 |
| d) 252 und 253 | i) 342 und 343 (Primfaktor 7) |
| e) 264 und 265 | j) 360 und 361 (Primfaktor 19) |
Merkkasten [TIMER:180]
Aufgabe 13: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Anzahl aller Primzahlen
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis durch Widerspruch
Ein Beweis durch Widerspruch beginnt damit, dass wir das Gegenteil von dem annehmen, was wir beweisen wollen.
- Nimm das Gegenteil von dem an, was du beweisen möchtest.
- Zeige, dass diese Annahme zu einem unsinnigen Ergebnis führt.
- Schlussfolgere, dass deine ursprüngliche Behauptung wahr sein muss.
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
ggT mit der Primfaktorzerlegung bestimmen
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei oder mehr Zahlen kann mithilfe der Primfaktorzerlegung wie folgt bestimmt werden:
Schritt 1: Zerlege alle gegebenen Zahlen in ihre Primfaktoren.
Schritt 2: Schreibe die Primfaktorzerlegungen der Zahlen nebeneinander.
Schritt 3: Bestimme die kleinsten Potenzen der Primfaktoren, die in allen Primfaktorzerlegungen vorkommen. Das bedeutet, du findest für jede Primzahl den kleinsten Exponenten, der in allen Zerlegungen gleich oder kleiner ist.
Schritt 4: Multipliziere diese Primzahlen mit den gefundenen Exponenten, um den ggT zu erhalten.
Beispiel:
\[ggT(120, 128) = ?\]
Schritt 1 und 2: \[120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \textrm{ und } 128 = 2^7\]
Schritt 3 und 4: \[ggT(120, 128) = 2^3 = 8\]
Aufgabe 14: Berechne den ggT von zwei gegebenen Zahlen mithilfe der Primfaktorzerlegung.
| a) \(ggT(56,42)=\square\) | g) \(ggT(48,36)=\square\) |
| b) \(ggT(120,90)=\square\) | h) \(ggT(99,77)=\square\) |
| c) \(ggT(72,48)=\square\) | i) \(ggT(108,84)=\square\) |
| d) \(ggT(81,63)=\square\) | j) \(ggT(36,25)=\square\) |
| e) \(ggT(45,30)=\square\) | k) \(ggT(96,64)=\square\) |
| f) \(ggT(66,54)=\square\) | l) \(ggT(30,20)=\square\) |
| a) \(ggT(56,42)=14\) | g) \(ggT(48,36)=12\) |
| b) \(ggT(120,90)=30\) | h) \(ggT(99,77)=11\) |
| c) \(ggT(72,48)=24\) | i) \(ggT(108,84)=12\) |
| d) \(ggT(81,63)=9\) | j) \(ggT(36,25)=1\) |
| e) \(ggT(45,30)=15\) | k) \(ggT(96,64)=32\) |
| f) \(ggT(66,54)=6\) | l) \(ggT(30,20)=10\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
kgV mit der Primfaktorzerlegung bestimmen
Dsas kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen kann mithilfe der Primfaktorzerlegung wie folgt bestimmt werden:
Schritt 1: Zerlege alle gegebenen Zahlen in ihre Primfaktoren.
Schritt 2: Schreibe die Primfaktorzerlegungen der Zahlen nebeneinander.
Schritt 3: Bestimme die größten Potenzen der Primfaktoren, die in den Primfaktorzerlegungen vorkommen.
Schritt 4: Multipliziere diese Primzahlen mit den gefundenen Exponenten, um das kgV zu erhalten.
Beispiel:
\[kgV(120, 128) = ?\]
Schritt 1 und 2: \[120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \textrm{ und } 128 = 2^7\]
Schritt 3 und 4: \[kgV(120, 128) = 2^7 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 1920\]
Aufgabe 15: Berechne das kgV mithilfe der Primfaktorzerlegung.
| a) \(kgV(14, 28)=\) | g) \(kgV(6, 18)=\) |
| b) \(kgV(9, 12)=\) | h) \(kgV(45, 75)=\) |
| c) \(kgV(25, 35)=\) | i) \(kgV(63, 77)=\) |
| d) \(kgV(16, 24)=\) | j) \(kgV(55, 88)=\) |
| e) \(kgV(36, 48)=\) | k) \(kgV(42, 56)=\) |
| f) \(kgV(20, 30)=\) | l) \(kgV(10, 20)=\) |
| a) \(kgV(14, 28) = 28\) | g) \(kgV(6, 18) = 18\) |
| b) \(kgV(9, 12) = 36\) | h) \(kgV(45, 75) = 225\) |
| c) \(kgV(25, 35) = 175\) | i) \(kgV(63, 77) = 693\) |
| d) \(kgV(16, 24) = 48\) | j) \(kgV(55, 88) = 440\) |
| e) \(kgV(36, 48) = 144\) | k) \(kgV(42, 56) = 168\) |
| f) \(kgV(20, 30) = 60\) | l) \(kgV(10, 20) = 20\) |