Ma6.3.7 - Periodische Dezimalbrüche

Periodische Dezimalbrüche

Einstieg

Martin möchte an der Tafel Streifendiagramme zeichnen. Damit diese groß genug sind, um von allen Schülern gesehen zu werden, sollen diese eine Breite von einem Meter haben. Zum zeichnen verwendet er das große Lineal der Tafel.

I) Bestimme die Breite der Segmente.

a) \(\frac{1}{2}\)

b) \(\frac{1}{10}\)

c) \(\frac{3}{4}\)

II) Beschreibe das Vorgehen für eine Länge von 1 m und gib den Rechenweg an.

50 cm

10 cm

75 cm

25 cm

Um die Breite jeder Spalte zu bestimmen, teilen wir die Gesamtbreite der Tabelle durch die Anzahl der Spalten.

Rechnung:

\[1 \ m \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ m = 0,5 \ m = 50 \ cm\]

\[1 \ m \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \ m = 0,1 \ m = 10 \ cm\]

\[1 \ m \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \ m = 0,75 \ m = 75 \ cm\]

Martin soll nun weitere Segmente anzeichnen.

III) Bestimme die Breite der Segmente.

d) \(\frac{1}{3}\)

e) \(\frac{1}{6}\)

f) \(\frac{2}{3}\)

IV) Beschreibe die auftretende Schwierigkeit.

33,33333… cm

16,6666… cm

66,6666… cm

33,33333… cm

Bei der schriftlichen Division müssen wir endlos mit immer dem gleichen Wert weiterrechnen. Es entsteht eine Zahl mit unendlich vielen identischen Nachkommastellen.

Definition: Abbrechende Dezimalbrüche

Abbrechende Dezimalbrüche haben eine feste Anzahl von Dezimalstellen nach dem Komma, nach denen die Zahl endet.

Beispiel:

\[\frac{3}{4} = 0,75\]

Definition: Periodische Dezimalbrüche

Periodische Dezimalbrüche wiederholen sich nach dem Komma unendlich oft. Man kennzeichnet den sich wiederholenden Teil (Periode), durch einen Periodenstrich.

Beispiel:

\[\frac{1}{3} = 0,\overline{3}\]

(Null Komma Periode drei)

\[\frac{14}{111} = 0,12\overline{6}\]

(Null Komma eins zwei Periode sechs)

Aufgabe 1: Lies die Zahl laut vor.

Aufgaben / Übung

Aufgabe 2: Wandle die folgenden Brüche in Dezimalbrüche um, indem du versuchst, den Nenner auf eine Zehnerpotenz zu bringen.

Schreibe (A) hinter abbrechende Dezimalbrüche und (P) hinter periodische Dezimalbrüche.

a) \(\frac{33}{150} = \square\)

b) \(\frac{47}{50} = \square\)

c) \(\frac{2}{9} = \square\)

d) \(\frac{54}{90} = \square\)

e) \(\frac{3}{8} = \square\)

f) \(\frac{1}{3} = \square\)

g) \(\frac{18}{20} = \square\)

h) \(\frac{2}{15} = \square\)

Aufgabe 3: Dividiere den Zähler durch den Nenner und gib den zugehörigen Dezimalbruch an.

a) \(\frac{7}{8} = \square\)

b) \(\frac{2}{3} = \square\)

c) \(\frac{3}{5} = \square\)

d) \(\frac{5}{9} = \square\)

e) \(\frac{4}{11} = \square\)

f) \(\frac{22}{9} = \square\)

g) \(\frac{15}{11} = \square\)

h) \(\frac{17}{33} = \square\)

Lösung:

\(0,\overline{36}\)	\(0,\overline{5}\)	\(0,\overline{51}\)
\(0,6\)	\(0,\overline{6}\)	\(0,875\)
\(1,\overline{36}\)	\(2,\overline{4}\)

Aufgabe 4: Forme jeweils in einen Dezimalbruch um.

a) \(\frac{4}{9} = \square\)

b) \(\frac{2}{11} = \square\)

c) \(\frac{1}{4} = \square\)

d) \(\frac{4}{12} = \square\)

e) \(\frac{7}{11} = \square\)

f) \(\frac{21}{40} = \square\)

g) \(\frac{12}{33} = \square\)

h) \(\frac{17}{40} = \square\)

i) \(\frac{4}{99} = \square\)

j) \(\frac{10}{22} = \square\)

k) \(\frac{13}{15} = \square\)

l) \(\frac{7}{12} = \square\)

m) \(\frac{9}{16} = \square\)

n) \(\frac{3}{22} = \square\)

o) \(\frac{11}{18} = \square\)

p) \(\frac{18}{75} = \square\)

q) \(\frac{11}{15} = \square\)

r) \(\frac{14}{36} = \square\)

s) \(\frac{45}{66} = \square\)

t) \(\frac{4}{55} = \square\)

Lösung:

\(0,\overline{4}\)	\(0,\overline{18}\)	\(0,25\)	\(0,\overline{3}\)
\(0,\overline{63}\)	\(0,525\)	\(0,\overline{36}\)	\(0,425\)
\(0,\overline{04}\)	\(0,\overline{45}\)	\(0,8\overline{6}\)	\(0,58\overline{3}\)
\(0,5625\)	\(0,1\overline{36}\)	\(0,6\overline{1}\)	\(0,24\)
\(0,7\overline{3}\)	\(0,3\overline{8}\)	\(0,6\overline{81}\)	\(0,0\overline{72}\)