Das Gesetz der großen Zahlen - Erwartete Häufigkeiten
Einstieg
Jeder von euch erhält einen Würfel.
a) Werft den Würfel 12 Mal und notiert die Ergebnisse jedes Wurfs.
b) Zählt, wie oft jede Zahl (1 bis 6) geworfen wurde und berechnet die relativen Häufigkeiten für jede Zahl.
c) Sammelt anschließend die Ergebnisse der ganzen Klasse. Vergleicht gemeinsam die gesammelten Ergebnisse aller Schüler.
d) Formuliert eure Beobachtungen.
Simulation:
Gesetz der großen Zahlen
Wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, wird die Häufigkeit der einzelnen Ergebnisse immer gleichmäßiger verteilt und kommt so der erwarteten Häufigkeit immer näher.
Je mehr Wiederholungen du machst, desto gleichmäßiger werden die Häufigkeiten der einzelnen Ergebnisse verteilt.
Stell dir vor, du würfelst einen Würfel. Jede Zahl (1, 2, 3, 4, 5, 6) hat die gleiche Chance, zu erscheinen. Das bedeutet, dass jede Zahl ungefähr gleich oft geworfen werden sollte.
Das Gesetz der großen Zahlen sagt folgendes:
- Wenn du nur ein paar Mal würfelst, kann es sein, dass manche Zahlen öfter erscheinen als andere.
- Wenn du aber sehr oft würfelst, wird jede Zahl fast gleich oft erscheinen.
Würfelwurf Simulation
Ergebnisse:
| Würfelzahl | Absolute Häufigkeit | Relative Häufigkeit (Dezimalbruch) | Relative Häufigkeit (Bruch) |
|---|
Definition: Erwartete Häufigkeit
Die erwartete Häufigkeit beschreibt, wie oft ein bestimmtes Ergebnis bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments auftreten sollte. Sie hilft uns zu verstehen, was wir im Mittel erwarten können, wenn wir das Experiment oft genug durchführen.
\[\text{Erwartete Häufigkeit} = \text{Anzahl der Würfe} \cdot \text{Chance für das Ereignis}\]
Beispiel mit einem Würfel:
Stell dir vor, du würfelst einen Würfel. Ein Würfel hat sechs Seiten mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Jede dieser Zahlen hat die gleiche Chance von \(\frac{1}{6}\), geworfen zu werden.
- Einmal würfeln: Wenn du nur einmal würfelst, kann jede Zahl (1, 2, 3, 4, 5, 6) erscheinen.
- Viele Male würfeln: Wenn du den Würfel sehr oft wirfst, sollte jede Zahl ungefähr gleich oft erscheinen.
| 60 Würfe, Erwartete Häufigkeit der Zahl 1: | 2000 Würfe, Erwartete Häufigkeit der Zahl 1: |
| \[\text{Erwartete Häufigkeit} = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10\] | \[\text{Erwartete Häufigkeit} = 2000 \cdot \frac{1}{6} = 333,\overline{3}\] |
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Berechne die erwarteten Häufigkeiten für jedes Ereignis.
a) Du wirfst einen Würfel 120 Mal. Berechne die erwartete Häufigkeit für jede Zahl (1 bis 6).
b) Ein Glücksrad hat 8 gleich große Sektoren, die von 1 bis 8 nummeriert sind. Wenn du das Glücksrad 160 Mal drehst, wie oft erwartest du, dass jede Zahl erscheint?
c) Du ziehst 90 Mal eine Karte aus einem Set von 10 gleich großen Karten mit den Zahlen 1 bis 10. Berechne die erwartete Häufigkeit für jede Zahl.
d) Ein Beutel enthält 5 gleich große verschiedenfarbige Kugeln (rot, blau, grün, gelb, schwarz). Du ziehst 150 Mal eine Kugel aus dem Beutel und legst sie zurück. Wie oft erwartest du, dass jede Farbe gezogen wird?
e) Eine Maschine produziert 6 verschiedene Produkte in gleicher Menge. Wenn du 240 Produkte zufällig auswählst, wie oft erwartest du, dass jedes Produkt ausgewählt wird?
f) Ein Würfel mit 12 Seiten (nummeriert von 1 bis 12) wird 240 Mal geworfen. Berechne die erwartete Häufigkeit für jede Zahl.
g) In einem Lostopf befinden sich 20 Lose, nummeriert von 1 bis 20. Du ziehst 200 Mal ein Los und legst es zurück. Wie oft erwartest du, dass jedes Los gezogen wird?
h) Ein Brettspiel hat 4 gleich große Felder (A, B, C, D). Du wirfst 200 Mal einen Spielstein auf das Brett. Wie oft erwartest du, dass jedes Feld getroffen wird?
i) Du spielst 100 Mal ein Kartenspiel mit 4 gleich großen Symbolen (Herz, Karo, Kreuz, Pik). Wie oft erwartest du, dass jedes Symbol gezogen wird?
j) Ein Würfel mit 3 gleich großen Seiten (A, B, C) wird 300 Mal geworfen. Berechne die erwartete Häufigkeit für jede Seite.
k) In einem Losverfahren gibt es 7 gleich große Preise. Du nimmst 140 Mal teil. Wie oft erwartest du, dass jeder Preis gewonnen wird?
l) Ein drehbares Rad hat 6 gleich große Abschnitte mit den Zahlen 1 bis 6. Wenn du das Rad 180 Mal drehst, wie oft erwartest du, dass jede Zahl erscheint?
Lösung:
| 20 | 20 | 9 | 30 |
| 40 | 20 | 10 | 50 |
| 25 | 100 | 20 | 30 |
Aufgabe 2: Fertige jeweils eine Skizze (Würfelnetz, Urne, ...) an und berechne anschließend.
a) Ein spezieller Würfel hat 3 Seiten mit der Zahl 6 und je eine Seite mit den Zahlen 1, 2, und 3. Du wirfst diesen Würfel 120 Mal. Berechne die erwartete Häufigkeit für jede Zahl.
b) Ein Glücksrad hat 10 gleich große Sektoren, davon sind 5 mit der Zahl 5, 3 mit der Zahl 3 und zwei mit der Zahl 2. Du drehst das Glücksrad 150 Mal. Wie oft erwartest du, dass jede Zahl erscheint?
c) Ein Beutel enthält 20 Kugeln: 12 rote, 6 blaue und 2 grüne. Du ziehst 200 Mal eine Kugel und legst sie zurück. Berechne die erwartete Häufigkeit für jede Farbe.
d) Ein Kartenspiel hat 52 Karten, davon sind 26 Herzen, 13 Karo, 7 Kreuz und 6 Pik. Du ziehst 130 Mal eine Karte und legst sie zurück. Wie oft erwartest du, dass jedes Symbol erscheint?
e) Ein Würfel hat 4 Seiten mit der Zahl 4 und 2 Seiten mit der Zahl 2. Du wirfst diesen Würfel 180 Mal. Berechne die erwartete Häufigkeit für jede Zahl.
f) Ein Lostopf enthält 50 Lose: 30 mit dem Preis A, 15 mit dem Preis B, und 5 mit dem Preis C. Du ziehst 100 Mal ein Los und legst es zurück. Wie oft erwartest du, dass jeder Preis gezogen wird?
g) Ein Beutel enthält 28 Kugeln: 14 rote, 7 blaue, 4 grüne und 3 gelbe. Du ziehst 120 Mal eine Kugel und legst sie zurück. Berechne die erwartete Häufigkeit für jede Farbe.
h) Ein Drehrad hat 8 gleich große Abschnitte: 4 Abschnitte mit der Zahl 7, 3 Abschnitte mit der Zahl 3 und 1 Abschnitt mit der Zahl 1. Du drehst das Drehrad 160 Mal. Wie oft erwartest du, dass jede Zahl erscheint?
i) Eine Würfel hat drei Seiten: 2 Seiten zeigen Kopf (K), 1 Seite zeigt Zahl (Z). Du wirfst diesen Würfel 90 Mal. Berechne die erwartete Häufigkeit für jedes Ereignis.
j) Ein spezielles Kartenspiel hat 40 Karten: 20 mit Symbol A, 12 mit Symbol B und 8 mit Symbol C. Du ziehst 200 Mal eine Karte und legst sie zurück. Wie oft erwartest du, dass jedes Symbol erscheint?
k) Ein Würfel hat 2 Seiten mit der Zahl 1, 2 Seiten mit der Zahl 2 und 2 Seiten mit der Zahl 3. Du wirfst diesen Würfel 180 Mal. Berechne die erwartete Häufigkeit für jede Zahl.
l) Ein Beutel enthält 40 Kugeln: 18 rote, 15 blaue, 5 grüne und 12 gelbe. Du ziehst 200 Mal eine Kugel und legst sie zurück. Wie oft erwartest du, dass jede Farbe gezogen wird?