Kongruenzsatz - Seite-Seite-Seite
Einstieg
Anton und Björn fahren gerne mit ihren Fahrrädern im Gelände. Zum Training von Sprüngen hat sich Anton eine Rampe von seinem Vater bauen lassen.
Anton hat Björn die Maße der Rampe durchgegeben, indem er die Länge der Rampenauffahrt und die Länge der Seite auf dem Boden gemessen hat.
a) Klassifiziere das Dreieck, das die Rampe bildet.
b) Beschreibe, warum die Rampen der beiden Jungs unterschiedlich aussehen.
c) Begründe, dass Björns Rampe nicht zum Training geeignet ist.
d) Benenne mögliche gemachte Fehler.
Antons Rampe
Björns Rampe
Erarbeitung
Aufgabe E1:
a) Zeichne ein beliebiges Dreieck auf ein weißes Blatt Papier.
b) Miss die Längen der Dreiecksseiten und die Größe der Winkel. Notiere die Werte entsprechend am Dreieck.
c) Diskutiere mit deinem Partner, welche Angaben weggelassen werden können, ohne dabei die Eindeutigkeit des Dreiecks zu gefährden.
- Welche Kombinationen von Angaben führen dazu, dass genau dieses Dreieck entsteht?
- Welche Informationen sind unbedingt notwendig, um das Dreieck eindeutig bestimmen zu können?
d) Notiert eure Überlegungen.
e) Stellt eure Überlegungen vor.
Dreieckskongruenz prüfen
Definition: Kongruenzsatz Seite-Seite-Seite (SSS)
Zwei Dreiecke, die in allen drei Seitenlängen übereinstimmen, sind kongruent zueinander.
Hinweis: Dreiecksungleichung
Die Summe zweier Dreiecksseiten muss immer größer sein als die dritte Dreiecksseite.
| \(\Large a + b > c\) | \(\Large a + c > b\) | \(\Large b + c > a\) |
Aufgabe 1: Übertrage die Tabelle in dein Heft. Bestimme die Dreiecke, die kongruent zueinander sind. Schreibe \(\Delta XYZ \cong \Delta T'U'V'\)
| Bezeichner | Seite 1 | Seite 2 | Seite 3 | Kongruenz |
|---|---|---|---|---|
| \(\Delta ABC\) | \(3 \ cm\) | \(4 \ cm\) | \(5 \ cm\) | \(\Delta ABC \cong \Delta DEF\) |
| \(\Delta A'B'C'\) | \(8 \ cm\) | \(3 \ cm\) | \(6 \ cm\) | |
| \(\Delta A''B''C''\) | \(6 \ cm\) | \(6 \ cm\) | \(6 \ cm\) | |
| \(\Delta DEF\) | \(5 \ cm\) | \(3 \ cm\) | \(4 \ cm\) | |
| \(\Delta D'E'F'\) | \(6 \ cm\) | \(5 \ cm\) | \(9 \ cm\) | |
| \(\Delta D''E''F''\) | \(7 \ cm\) | \(8 \ cm\) | \(8 \ cm\) | |
| \(\Delta GHI\) | \(2 \ cm\) | \(7 \ cm\) | \(6 \ cm\) | |
| \(\Delta G'H'I'\) | \(6 \ cm\) | \(6 \ cm\) | \(6 \ cm\) | |
| \(\Delta G''H''I''\) | \(6 \ cm\) | \(8 \ cm\) | \(3 \ cm\) | |
| \(\Delta JKL\) | \(8 \ cm\) | \(8 \ cm\) | \(7 \ cm\) | |
| \(\Delta J'K'L'\) | \(6 \ cm\) | \(2 \ cm\) | \(7 \ cm\) | |
| \(\Delta J''K''L''\) | \(3 \ cm\) | \(6 \ cm\) | \(8 \ cm\) |
Aufgabe 3:
a) Konstruiere die folgenden Dreiecke auf unliniertem Papier.
b) Vergleiche deine Konstruktion mit deinem Nachbarn, indem ihr die Papier passend übereinander legt
| Bezeichner | Seite 1 | Seite 2 | Seite 3 |
|---|---|---|---|
| \(\Delta ABC\) | \(3 \ cm\) | \(4 \ cm\) | \(5 \ cm\) |
| \(\Delta DEF\) | \(8 \ cm\) | \(3 \ cm\) | \(6 \ cm\) |
| \(\Delta GHI\) | \(6 \ cm\) | \(6 \ cm\) | \(6 \ cm\) |
| \(\Delta JKL\) | \(5 \ cm\) | \(3 \ cm\) | \(4 \ cm\) |
| \(\Delta MNO\) | \(6 \ cm\) | \(5 \ cm\) | \(9 \ cm\) |
| \(\Delta PQR\) | \(7 \ cm\) | \(8 \ cm\) | \(8 \ cm\) |
Aufgabe 4: Beantworte die 4 Fragen für dich im Heft. Die Antworten sind grundsätzlich unter Zuhilfenahme mathematischer Sätze zu begründen!
- Überlege, ob die Dreiecke mit den Seitenlängen \(a = 6 \ cm\), \(b = 8 \ cm\), \(c = 10 \ cm\) und \(x = 10 \ cm\), \(y = 6 \ cm\), \(z = 8 \ cm\) nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent sind. Begründe deine Antwort.
- Beschreibe, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent sind. Notiere die Bedingungen in eigenen Worten.
- Überprüfe, ob die Dreiecke mit den Seitenlängen \(a = 5 \ cm\), \(b = 6 \ cm\), \(c = 7 \ cm\) und \(x = 7 \ cm\), \(y = 6 \ cm\), \(z = 6 \ cm\) nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent sind. Begründe deine Antwort.
- Überlege, warum es nicht ausreicht, nur die Längen von zwei Seiten bei zwei Dreiecken zu vergleichen, um ihre Kongruenz nach SSS sicherzustellen. Notiere deine Überlegungen.