Tautologie und Kontradiktion - Immer wahr oder immer falsch
Einstieg
a) Notiere zu beiden Waagen die zugehörige Gleichung und bestimme anschließend die Lösungsmenge.
b) Begründe, warum die erste Waage immer im Gleichgewicht sein wird, egal wie groß die Variable x gewählt wird.
c) Begründe, warum die zweite Waage keine Lösung haben wird, egal wie groß die Variable x gewählt wird.
Ergebnissicherung
\[\begin{align*}2x + 1 &= 2x + 1 &&\mid -2x\\ 1 &= 1\\ \\ \mathbb{L}&= \mathbb{Q}\end{align*}\]
In die Gleichung kann jede beliebige rationale Zahl eingesetzt werden und die Gleichung stimmt immer.
Die Gleichung hat damit unendlich viele Lösungen.
\[\begin{align*}2x + 1 &= 2x + 3 &&\mid -2x\\ 1 &= 3\\ \\ \mathbb{L}&= \emptyset && \textrm{oder} \\ \mathbb{L}&= \left\{\right\}\end{align*}\]
In die Gleichung kann jede beliebige rationale Zahl eingesetzt werden und die Gleichung stimmt niemals.
Die Gleichung hat damit keine Lösungen.
[TIMER:600]
Aufgabe 1: Übertrage die Merkkästen in dein Heft.
Definition: Tautologie
Eine Tautologie ist eine allgemeingültige Aussage.
Wenn beim Umformen einer Gleichung eine Aussage entsteht, die immer wahr ist, dann ist jede Zahl eine Lösung der Gleichung.
Beispiel:
\[\begin{align*}2(x + 3) &= 2x + 6 \\2x+6 &= 2x+6 &&|-2x \\6 &= 6\\ \\\mathbb{L}&=\mathbb{Q}\end{align*}\]
Definition: Kontradiktion
Eine Kontradiktion ist eine niemals gültige Aussage.
Wenn beim Umformen einer Gleichung eine Aussage entsteht, die immer falsch ist, dann gibt es keine Zahl, die eine Lösung der Gleichung ist.
Beispiel:
\[\begin{align*}3x + 5 &= 3x + 2 &&| -3x\\5 &= 2 \\ \\\mathbb{L}&=\left\{\right\}\end{align*}\]
Aufgaben / Übung [TIMER:3600]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb**;35;9 - 12;Ah;10;3;]
Aufgabe 2: Löse die Gleichungen und gib die Lösungsmenge an.
| a) \(8x-2x+5=3x+29\) | e) \(5x+9x+5=2x+5\) |
| b) \(9(x+5)=2x+143\) | f) \(5x+4x+11=2(x+23)\) |
| c) \(11x+3x+8=4x+119-11\) | g) \(6(x+3)=2x+36+2x\) |
| d) \(4(x+2)=3x+8+x\) | h) \(8x+2x-14=8+5x-22\) |
Lösungen:
| \(\mathbb{L} = \left\{5\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{\right\}\) | \(\mathbb{L} = \mathbb{Q}\) | \(\mathbb{L} = \left\{\right\}\) |
| \(\mathbb{L} = \left\{14\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{9\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{6\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{10\right\}\) |
Aufgabe 3: Löse die Gleichungen und mache die Probe.
| a) \(9x+14=7x+18\) | d) \(15x-8x-5=2x+10\) |
| b) \(11x-17=8x+10\) | e) \(5(x+2)=3x+18\) |
| c) \(10x+2x+1=3x+19\) | f) \(8(x-5)=2x+14\) |
Aufgabe 4: Formuliere deine Erkenntnis.
a) Setze in die Gleichung \(2(x+3)=2x+6\) für \(x\) nacheinander die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 ein.
b) Setze auch die Zahlen -1, -2 ,-3 und -4 ein.
c) Erkläre schriftlich, warum jede Probe entweder eine Tautologie oder eine Kontradiktion ist.
Aufgabe 5: Bestimme, bei welchen Gleichungen es sich um Tautologien oder Kontradiktionen handelt. Zeige rechnerisch.
| a) \(4x + 12 = 2(x+6)\) |
| b) \(17x-5x+5=8x+1\) |
| c) \(5(x+1)=5(x-2)\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:2400]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Ah;10;4;]
Aufgabe 6 ( ): Löse die Gleichungen.
| a) \(5x+1=−9x+29\) | k) \(1x−10=6x+30\) |
| b) \(−3x+1=9x−83\) | l) \(−6x−10=6x−46\) |
| c) \(−4x+10=8x−110\) | m) \(−8x−9=3x+24\) |
| d) \(−9x+7=−10x+7\) | n) \(−7x−3=8x+42\) |
| e) \(7x+9=−3x−61\) | o) \(−7x+6=3x+106\) |
| f) \(−5x−1=7x−97\) | p) \(−10x−9=6x+87\) |
| g) \(−4x+7=−8x+31\) | q) \(4x−7=−1x−7\) |
| h) \(−1x+4=8x+13\) | r) \(−2x−9=−8x−63\) |
| i) \(1x+4=−4x+19\) | s) \(−4x+2=4x−70\) |
| j) \(6x+5=9x+11\) | t) \(4x+7=3x+9\) |
Lösung:
| \(\mathbb{L}=\left\{−10\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{−9\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{−8\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{−7\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{−6\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{−5\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{−3\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{−3\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{−3\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{−2\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{−1\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{0\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{0\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{2\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{2\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{2\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{3\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{3\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{4\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{5\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{6\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{7\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{7\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{8\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{9\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{10\right\}\) |
Aufgabe 6 ( ): Löse die linearen Gleichungen.
| a) \(2x + 3 = x + 5\) | k) \(7x - 14 = 5x\) |
| b) \(4x - 7 = 2x + 1\) | l) \(2(x - 3) + 7 = x + 1\) |
| c) \(5(x - 2) = 3(x + 4)\) | m) \(2x + 12 = 2(x + 10)\) |
| d) \(0,5x + 6 = x - 2\) | n) \(x - 5 = 3 - 2x\) |
| e) \(3x + 15 = x + 35\) | o) \(4(x - 1) = 2(x + 10)\) |
| f) \(x - (3x - 12) = 18\) | p) \(x + 12 = 2x - 8\) |
| g) \(2(x + 5) = 3(x - 1)\) | q) \(5(x - 2) + x = 4(x + 3)\) |
| h) \(4x + 1 = 3x + 6\) | r) \(3x - 7 = x + 5\) |
| i) \(5x - 3 = 4x + 9\) | s) \(x + 4(x - 3) = 2(x + 6)\) |
| j) \(x + (0,5x + 2) = 10\) | t) \(6x - (2x - 4) = 16\) |
Lösung:
| \(\mathbb{L}=\left\{-4\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{-3\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{-1\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{0\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{2\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{3\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{4\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{5\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{6\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{7\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{8\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{10\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{11\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{11\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{12\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{12\right\}\) |
| \(\mathbb{L}=\left\{13\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{16\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{20\right\}\) | |
| \(\mathbb{L}=\left\{\frac{16}{3}\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{11,5\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{\frac{8}{3}\right\}\) | |
| \(\mathbb{L}=\left\{\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{\right\}\) | \(\mathbb{L}=\left\{\right\}\) | \(\mathbb{L}=\mathbb{Q}\) |