Umgekehrter Satz des Pythagoras
Einstieg
Peter hat eine 12 cm lange Schnur, auf der sich genau drei Knoten befinden. Er möchte diese Schnur nutzen, um zu überprüfen, ob die Ecken eines selbstgebauten Möbelstücks exakte rechte Winkel aufweisen.
Peter sollte die Schnur so mit Knoten versehen, dass sie in drei Abschnitte unterteilt wird, die im Verhältnis 3:4:5 stehen. Da seine Schnur 12 cm lang ist, eignet sich die Aufteilung in 3 cm, 4 cm und 5 cm. Er stellt sicher, dass vom Anfang der Schnur bis zum ersten Knoten 3 cm, vom ersten zum zweiten Knoten 4 cm und vom zweiten Knoten bis zum Ende der Schnur 5 cm sind.
Um zu prüfen, ob eine Ecke des Möbelstücks einen rechten Winkel bildet, legt Peter die Schnur an die Ecke an. Der kürzeste Abschnitt (3 cm) liegt entlang einer Seite der Ecke, der mittlere Abschnitt (4 cm) entlang der anderen Seite der Ecke.
Der längste Abschnitt der Schnur (5 cm) sollte genau die Hypotenuse zwischen den Endpunkten der beiden anderen Schnurabschnitte bilden. Wenn die Schnur perfekt passt und die Endpunkte genau aufeinandertreffen, bildet die Ecke einen exakten rechten Winkel.
Diese Methode, oft als "3-4-5-Regel" bekannt, beruht auf einem einfachen pythagoräischen Zahlentripel und ist ein traditionelles Werkzeug im Bauwesen, um rechte Winkel zu bestimmen. Indem Peter diese Regel anwendet, kann er schnell und ohne komplizierte Werkzeuge überprüfen, ob seine Möbelecken rechtwinklig sind.
Schlussfolgerung: Umkehrung des Satzes des Pythagoras
Wenn \(\triangle ABC\) ein Dreieck mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\) ist und die Beziehung \(c^2 = a^2+b^2\) gilt, dann ist \(\triangle ABC\) ein rechtwinkliges Dreieck.
Wofür kann ich den Satz des Pythagoras benutzen (II)
Der Satz des Pythagoras ermöglicht es, die Länge einer unbekannten Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, wenn die Längen der beiden anderen Seiten bekannt sind.
Dies ist nützlich in vielen Bereichen wie Bauwesen, Architektur und sogar in der Navigation.
| Fall 1: Hypotenuse unbekannt |
|---|
\[a^2 + b^2 = c^2\] |
| Setze die Werte für \(a\) und \(b\) ein. |
| \[c = \sqrt{a^2 + b^2}\] |
Beispiel [Hypotenuse c]
| \(a = 3 \ cm\) und \(b= 4\ cm\) |
| \[\begin{align*}c^2 &= a^2 + b^2 && \mid \sqrt{}\\c &= \sqrt{a^2 + b^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2}\\ &= \sqrt{9 + 16}\\ &= \sqrt{25}\\ &= 5\end{align*}\] |
| Fall 2: Eine Kathete unbekannt |
|---|
Forme nach \(a^2\) um. \[a^2 = c^2-b^2\] |
| Setze die Werte für \(b\) und \(c\) ein. |
| \[a = \sqrt{c^2 - b^2}\] |
Beispiel [Hypotenuse c]
| \(a = 6 \ cm\) und \(c = 10 \ cm\) |
| \[\begin{align*}a^2 + b^2 &= c^2 && \mid -a^2\\ b^2 &= c^2 - a^2 && \mid \sqrt{}\\b &= \sqrt{c^2 - a^2}\\ &= \sqrt{10^2 - 6^2}\\ &= \sqrt{100 - 36}\\ &= \sqrt{64}\\ &= 8\end{align*}\] |
| Fall 2: Eine Kathete unbekannt |
|---|
Forme nach \(b^2\) um. \[b^2 = c^2-a^2\] |
| Setze die Werte für \(a\) und \(c\) ein. |
| \[b = \sqrt{c^2 - a^2}\] |
Beispiel [Hypotenuse c]
| \(b = 12 \ cm\) und \(c = 15 \ cm\) |
| \[\begin{align*}a^2 + b^2 &= c^2 && \mid -b^2\\ a^2 &= c^2 - b^2 && \mid \sqrt{}\\a &= \sqrt{c^2 - b^2}\\ &= \sqrt{15^2 - 12^2}\\ &= \sqrt{255 - 144}\\ &= \sqrt{81}\\ &= 9\end{align*}\] |
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Berechne die fehlende Hypotenuse \(c\) der rechtwinkligen Dreiecke mithilfe des Satzes des Pythagoras. Runde auf zwei Nachkommastellen, falls nötig. Zeichne zusätzlich auch a), b) und c) in dein Heft und überprüfe deine Berechnung zeichnerisch.
a) \(a = 3 \ cm\), \(b = 4 \ cm\) b) \(a = 5 \ cm\), \(b = 12 \ cm\) c) \(a = 6 \ cm\), \(b = 8 \ cm\) d) \(a = 7 \ cm\), \(b = 24 \ cm\) e) \(a = 8 \ cm\), \(b = 15 \ cm\) f) \(a = 9 \ cm\), \(b = 12 \ cm\) | g) \(a = 10 \ cm\), \(b = 24 \ cm\) h) \(a = 11 \ cm\), \(b = 60 \ cm\) i) \(a = 16 \ cm\), \(b = 30 \ cm\) j) \(a = 18 \ cm\), \(b = 24 \ cm\) k) \(a = 20 \ cm\), \(b = 21 \ cm\) l) \(a = 22 \ cm\), \(b = 35 \ cm\) |
Aufgabe 2: Berechne die Länge der fehlenden Kathete \(a\) oder \(b\) auf zwei Nachkommastellen genau.
Hinweis: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\) oder \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)
a) \(c = 13 \ cm\), \(b = 5 \ cm\), berechne \(a\). b) \(c = 15 \ cm\), \(a = 9 \ cm\), berechne \(b\). c) \(c = 17 \ cm\), \(b = 8 \ cm\), berechne \(a\). d) \(c = 25 \ cm\), \(a = 7 \ cm\), berechne \(b\). e) \(c = 26 \ cm\), \(b = 10 \ cm\), berechne \(a\). f) \(c = 29 \ cm\), \(a = 20 \ cm\), berechne \(b\). | g) \(c = 30 \ cm\), \(b = 16 \ cm\), berechne \(a\). h) \(c = 35 \ cm\), \(a = 21 \ cm\), berechne \(b\). i) \(c = 37 \ cm\), \(b = 12 \ cm\), berechne \(a\). j) \(c = 41 \ cm\), \(a = 9 \ cm\), berechne \(b\). k) \(c = 50 \ cm\), \(b = 30 \ cm\), berechne \(a\). l) \(c = 53 \ cm\), \(a = 28 \ cm\), berechne \(b\). |
Aufgabe 3: Berechne die fehlende Länge im rechtwinkligen Dreieck mit \(\gamma = 90°\). Runde auf zwei Nachkommastellen.
a) \( a = 4 \ cm\), \(b = 3 \ cm\) b) \( c = 10 \ cm\), \(b = 6 \ cm\) c) \( a = 8 \ cm\), \(c = 17 \ cm\) d) \( b = 24 \ cm\), \(c = 25 \ cm\) e) \( a = 18 \ cm\), \(b = 24 \ cm\) f) \( c = 15 \ cm\), \(a = 9 \ cm\) g) \( b = 8 \ cm\), \(a = 6 \ cm\) h) \( a = 12 \ cm\), \(c = 13 \ cm\) i) \( b = 5 \ cm\), \(c = 13 \ cm\) j) \(c = 21 \ cm\), \(b = 20 \ cm\) | k) \(a = 14 \ cm\), \(b = 48 \ cm\) l) \(b = 9 \ cm\), \(c = 41 \ cm\) m) \(a = 28 \ cm\), \(c = 53 \ cm\) n) \(c = 37 \ cm\), \(a = 35 \ cm\) o) \(b = 30 \ cm\), \(a = 40 \ cm\) p) \(a = 21 \ cm\), \(c = 29 \ cm\) q) \(c = 50 \ cm\), \(b = 48 \ cm\) r) \(a = 11 \ cm\), \(b = 60 \ cm\) s) \(b = 16 \ cm\), \(c = 20 \ cm\) t) \(c = 25 \ cm\), \(a = 7 \ cm\) |
| \(5 \ cm\) | \(13 \ cm\) | \(10 \ cm\) | \(25 \ cm\) | \(17 \ cm\) | \(15 \ cm\) |
| \(26 \ cm\) | \(61 \ cm\) | \(34 \ cm\) | \(30 \ cm\) | \(29 \ cm\) | \(41,34 \ cm\) |
| \(12 \ cm\) | \(12 \ cm\) | \(15 \ cm\) | \(24 \ cm\) | \(24 \ cm\) | \(21 \ cm\) |
| \(25,38 \ cm\) | \(28 \ cm\) | \(35 \ cm\) | \(40 \ cm\) | \(40 \ cm\) | \(45 \ cm\) |
| \(5 \ cm\) | \(8 \ cm\) | \(15 \ cm\) | \(7 \ cm\) | \(30 \ cm\) |
| \(12 \ cm\) | \(10 \ cm\) | \(5 \ cm\) | \(12 \ cm\) | \(6,40 \ cm\) |
| \(50 \ cm\) | \(40 \ cm\) | \(45 \ cm\) | \(12 \ cm\) | \(50 \ cm\) |
| \(20 \ cm\) | \(14 \ cm\) | \(61 \ cm\) | \(12 \ cm\) | \(24 \ cm\) |
Umkehraufgabe – Satz des Pythagoras
Alle Kabel sind bereits verbunden. Die Kabellängen sind an den Kabeln angegeben. Berechne die gesuchten Abstände. Nicht eindeutig bestimmare Abstände werden automatisch zusätzlich vorgegeben.
- Fertige passende Planfiguren an.
- Berechne die fehlenden Abstände und runde auf zwei Nachkommastellen.
Hinweis: Die Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu.