Maßstab und Verhältnisgleichungen
Definition: Maßstab
Der Maßstab ist das Verhältnis zwischen einer Länge auf einer Abbildung und der entsprechenden Länge in der Realität.
- Er wird verwendet, um große Objekte wie Gebäude oder Landkarten in einer verkleinerten Form darzustellen.
- Der Maßstab kann auch dazu dienen, kleine Objekte vergrößert darzustellen.
Es ist wichtig, dass Abstände, Längen und Größen proportional korrekt wiedergegeben werden.
Als Verhältnis ohne Einheiten | Als Verhältnis mit Einheiten |
| 1:10.000 bedeutet, dass 1 Einheit auf der Abbildung 10.000 Einheiten in der Realität entspricht. | 1 cm : 100 m bedeutet, dass 1 cm auf der Abbildung 100 m in der Realität darstellt. |
| \[\text{reale Länge} = 5 \ cm \cdot \frac{10000}{1} = 50000 \ cm = 500 \ m\] | \[\text{reale Länge} = 5 \ cm \cdot \frac{100 \ m}{1 \ cm} = 500 \ m\] |
Aufgabe 1: Berechne. Gib den vollständigen Rechenweg an.
| a) Auf einer Landkarte im Maßstab 1:50.000 beträgt die Entfernung zwischen zwei Städten 4 cm. Berechne die tatsächliche Entfernung in Kilometern. | h) Ein Flussabschnitt ist auf einer Karte im Maßstab 1:30.000 mit 10 cm eingezeichnet. Bestimme die tatsächliche Länge des Flussabschnitts in der Realität. |
| b) Eine Strecke auf einem Stadtplan im Maßstab 1:10.000 ist 12 cm lang. Bestimme die tatsächliche Länge dieser Strecke in der Realität. | i) Die Länge einer Brücke ist auf einem Plan im Maßstab 1:500 mit 3 cm dargestellt. Berechne die tatsächliche Länge der Brücke in Metern. |
| c) Auf einem Bauplan im Maßstab 1:200 beträgt die Länge eines Raumes 8 cm. Berechne die tatsächliche Länge des Raumes in Metern. | j) Auf einer Landkarte im Maßstab 1:250.000 beträgt die Luftlinie zwischen zwei Städten 2 cm. Ermittle die tatsächliche Entfernung in Kilometern. |
| d) Eine Straße ist auf einer Karte im Maßstab 1:25.000 mit einer Länge von 7 cm eingezeichnet. Ermittle die tatsächliche Länge der Straße in der Realität. | k) Auf einem Schulgeländeplan im Maßstab 1:1.000 ist die Länge eines Weges mit 15 cm angegeben. Bestimme die tatsächliche Länge des Weges in der Realität. |
| e) Ein Weg im Park ist auf einem Plan im Maßstab 1:5.000 mit 2,5 cm dargestellt. Berechne die tatsächliche Länge des Weges in der Realität. | l) Ein Wanderweg ist auf einer Karte im Maßstab 1:50.000 mit 9 cm dargestellt. Berechne die tatsächliche Länge des Wanderweges in der Realität. |
| f) Auf einer Landkarte im Maßstab 1:100.000 ist die Entfernung zwischen zwei Dörfern 3,5 cm. Bestimme die tatsächliche Entfernung in Kilometern. | m) Eine Straße ist auf einer Karte im Maßstab 1:20.000 mit 5 cm eingezeichnet. Ermittle die tatsächliche Länge der Straße in der Realität. |
| g) Eine Eisenbahnstrecke ist auf einer Karte im Maßstab 1:75.000 mit 6 cm markiert. Berechne die tatsächliche Länge der Strecke in Kilometern. |
Aufgabe 2: Berechne schriftlich. Beachte die Umrechnung der Einheiten bei deinem Rechenweg.
| a) Auf einer Landkarte beträgt der Maßstab 1 cm : 3 km. Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt 7 cm. Berechne die tatsächliche Entfernung in Kilometern. | h) Ein Park ist auf einem Plan im Maßstab 1 cm : 100 m dargestellt. Eine Strecke im Park misst 6 cm auf der Karte. Bestimme die tatsächliche Länge dieser Strecke in Metern. |
| b) Auf einem Plan beträgt der Maßstab 1 cm : 500 m. Eine Straße ist 8 cm lang eingezeichnet. Bestimme die tatsächliche Länge der Straße in Metern. | i) Auf einer Landkarte beträgt der Maßstab 1 cm : 20 km. Die Entfernung zwischen zwei Dörfern beträgt 2,5 cm. Berechne die tatsächliche Entfernung in Kilometern. |
| c) Ein Wanderweg ist auf einer Karte mit dem Maßstab 1 cm : 2 km dargestellt. Die Länge des Weges auf der Karte beträgt 12 cm. Berechne die tatsächliche Länge des Wanderwegs in Kilometern. | j) Ein See ist auf einer Karte im Maßstab 1 cm : 50 m eingezeichnet und misst 10 cm in der Länge. Bestimme die tatsächliche Länge des Sees in Metern. |
| d) Ein Flussabschnitt ist auf einer Karte im Maßstab 1 cm : 250 m mit 5 cm eingezeichnet. Bestimme die tatsächliche Länge des Flussabschnitts in Metern. | k) Eine Autobahn ist auf einer Straßenkarte im Maßstab 1 cm : 15 km mit 3 cm eingezeichnet. Berechne die tatsächliche Länge der Autobahn in Kilometern. |
| e) Auf einer Straßenkarte beträgt der Maßstab 1 cm : 10 km. Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt auf der Karte 3,5 cm. Berechne die tatsächliche Entfernung in Kilometern. | l) Auf einer Karte beträgt der Maßstab 1 cm : 12 km. Die Entfernung zwischen zwei Punkten beträgt 7,5 cm. Bestimme die tatsächliche Entfernung in Kilometern. |
| f) Eine Bahnstrecke ist auf einer Karte mit dem Maßstab 1 cm : 7 km eingezeichnet und misst 4 cm. Bestimme die tatsächliche Länge der Bahnstrecke in Kilometern. | m) Ein Weg ist auf einem Plan im Maßstab 1 cm : 400 m mit 4 cm dargestellt. Berechne die tatsächliche Länge des Weges in Metern. |
| g) Der Maßstab auf einer topografischen Karte beträgt 1 cm : 5 km. Ein Wanderweg ist 9 cm lang eingezeichnet. Berechne die tatsächliche Länge des Wanderwegs in Kilometern. |
Verhältnis von Größen
Das Verhältnis der Realgrößen entspricht dem Maßstab auf einer Karte, etwa 1 cm : 3 m entspricht einem Verhältnis von 1 zu 300. Diese Proportionalität bedeutet, dass jede Länge auf der Karte proportional zur tatsächlichen Länge in der Realität ist, was eine exakte Berechnung der realen Entfernungen ermöglicht.