Gemischte Zahlen
Einstieg
Stellt euch vor, ihr plant einen Kuchenbacktag für eine Schulveranstaltung. Ihr habt verschiedene Rezepte, die alle unterschiedliche Mengen an Zutaten benötigen.
Einige Rezepte verlangen nach \(\frac{7}{4}\) Litern Milch, andere nach \(\frac{5}{3}\) Kilogramm Mehl. Diese Mengen sind schwer vorstellbar, nicht wahr?
Wie könnten wir sie einfacher und verständlicher darstellen?
Aufgabenstellung:
a) Überlege dir für deine Rezeptkarte, wie man diese Brüche geeigneter darstellen kann.
b) Finde für jeden deiner Brüche zunächst heraus wie viele Ganze in diesem Bruch versteckt sind.
c) Ermittle anschließend den Bruchteil, der übrig bleibt, wenn du die Ganzen vollständig heraus nimmst.
d) Stelle deine Ergebnisse vor.
Rezeptkarte 1: Schokoladenkuchen
- Mehl: \(\frac{5}{2}\) Tassen
- Zucker: \(\frac{3}{2}\) Tassen
- Milch: \(\frac{7}{4}\) Tassen
- Kakaopulver: \(\frac{3}{2}\) Tassen
Rezeptkarte 2: Fruchtiger Pfannkuchen
- Eier: \(\frac{5}{3}\) Tasse
- Mehl: \(\frac{8}{3}\) Tassen
- Milch: \(\frac{4}{3}\) Tassen
- Geschnittene Früchte: \(\frac{5}{2}\) Tassen
Rezeptkarte 3: Vanille-Muffins
- Mehl: \(\frac{11}{4}\) Tassen
- Zucker: \(\frac{6}{4}\) Tassen
- Milch: \(\frac{5}{4}\) Tassen
- Vanille-Extrakt: \(\frac{3}{4}\) Teelöffel
Rezeptkarte 4: Apfelkuchen
- Äpfel: \(\frac{9}{4}\)Tassen, in Würfel geschnitten
- Mehl: \(\frac{7}{3}\) Tassen
- Zucker: \(\frac{5}{2}\) Tassen
- Zimt: \(\frac{2}{3}\) Teelöffel
Rezeptkarte 5: Beeren-Smoothie
- Gemischte Beeren: \(\frac{6}{3}\) Tassen
- Joghurt: \(\frac{8}{4}\) Tassen
- Honig: \(\frac{3}{2}\) Esslöffel
- Crushed Eis: \(\frac{13}{6}\) Tassen
Rezeptkarte 6: Knusprige Gemüsepizza
- Pizzateig: \(\frac{4}{2}\) Rollen
- Tomatensauce: \(\frac{5}{4}\) Tassen
- Geriebener Käse: \(\frac{6}{3}\) Tassen
- Gemischtes Gemüse (Paprika, Zwiebeln, Pilze): \(\frac{7}{4}\) Tassen
- Olivenöl: \(\frac{3}{2}\) Esslöffel
Definition: Gemischte Zahl
Eine gemischte Zahl besteht aus einer natürlichen Zahl und einem Bruch. Sie wird verwendet, um Mengen darzustellen, die größer als 1, aber nicht vollständig durch ganze Zahlen ausgedrückt sind.
Gemischte Zahlen werden gelesen, indem man zuerst die ganze Zahl und dann den Bruch nennt. Zum Beispiel wird die gemischte Zahl "\(2\frac{3}{4}\)" als "zwei und drei Viertel" gelesen.
Umwandlung eines Bruchs in eine gemischte Zahl: Teile den Zähler durch den Nenner (Schreibweise mit Rest). Der Quotient wird zur ganzen Zahl und der Rest zum neuen Zähler des Bruchteils.
Beispiel: Um \(\frac{11}{4}\) in eine gemischte Zahl umzuwandeln, teilst du 11 durch 4. Das Ergebnis ist 2 mit einem Rest von 3, also wird die gemischte Zahl \(2\frac{3}{4}\).
Umwandlung einer gemischten Zahl in einen Bruch: Multipliziere den Nenner mit der ganzen Zahl und addiere anschließend den Zähler des Bruchteils. Der resultierende Zähler wird über den ursprünglichen Nenner gesetzt.
Beispiel: Um \(2\frac{3}{4}\) in einen Bruch umzuwandeln, multiplizierst du 4 (den Nenner) mit 2 (die ganze Zahl) und addierst 3 (den Zähler). Das ergibt \(\frac{4 \cdot 2 + 3}{4} = \frac{11}{4}\).
\[\Huge{ 2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}}\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Schreibe jeweils als gemischte Zahl.
a) \(\frac{9}{2}= \square\)
b) \(\frac{15}{4}= \square\)
c) \(\frac{11}{3}= \square\)
d) \(\frac{18}{5}= \square\)
e) \(\frac{22}{6}= \square\)
f) \(\frac{14}{4}= \square\)
g) \(\frac{19}{3}= \square\)
h) \(\frac{27}{7}= \square\)
i) \(\frac{21}{8}= \square\)
j) \(\frac{16}{5}= \square\)
k) \(\frac{25}{9}= \square\)
l) \(\frac{30}{4}= \square\)
m) \(\frac{17}{6}= \square\)
n) \(\frac{13}{5}= \square\)
o) \(\frac{24}{7}= \square\)
p) \(\frac{20}{3}= \square\)
Lösung:
| \(2\frac{5}{8}\) | \(3\frac{3}{4}\) | \(3\frac{3}{5}\) | \(3\frac{6}{7}\) |
| \(2\frac{3}{5}\) | \(3\frac{2}{3}\) | \(3\frac{2}{4}\) | \(3\frac{4}{6}\) |
| \(2\frac{5}{6}\) | \(3\frac{1}{5}\) | \(3\frac{3}{7}\) | \(4\frac{1}{2}\) |
| \(2\frac{7}{9}\) | \(6\frac{1}{3}\) | \(6\frac{2}{3}\) | \(7\frac{2}{4}\) |
Aufgabe 2: Schreibe als unechten Bruch und kürze maximal.
a) \( 2 \frac{3}{5} = \square\)
b) \( 5 \frac{2}{6} = \square\)
c) \( 1 \frac{1}{2} = \square\)
d) \( 3 \frac{4}{7} = \square\)
e) \( 6 \frac{5}{9} = \square\)
f) \( 2 \frac{8}{13} = \square\)
g) \( 11 \frac{7}{8} = \square\)
h) \( 5 \frac{4}{6} = \square\)
i) \( 13 \frac{5}{9} = \square\)
j) \( 8 \frac{10}{11} = \square\)
k) \( 4 \frac{3}{5} = \square\)
l) \( 3 \frac{6}{7} = \square\)
m) \( 1 \frac{7}{9} = \square\)
n) \( 5 \frac{2}{3} = \square\)
o) \( 9 \frac{7}{12} = \square\)
p) \( 6 \frac{3}{4} = \square\)
Lösung:
| \(\frac{3}{2}\) | \(\frac{95}{8}\) | \(\frac{17}{3}\) | \(\frac{59}{9}\) |
| \(\frac{98}{11}\) | \(\frac{13}{5}\) | \(\frac{27}{7}\) | \(\frac{115}{12}\) |
| \(\frac{122}{9}\) | \(\frac{16}{9}\) | \(\frac{16}{3}\) | \(\frac{23}{5}\) |
| \(\frac{34}{13}\) | \(\frac{17}{3}\) | \(\frac{27}{4}\) | \(\frac{25}{7}\) |
Aufgabe 3: Anwendungsaufgaben
a) Kuchen backen: Lisa hat ein Rezept für einen Kuchen, das \(\frac{7}{4}\) Tassen Mehl erfordert. Wie viele ganze Tassen Mehl braucht sie und wie viel bleibt übrig?
b) Malerarbeit: Ein Maler hat \(\frac{5}{2}\) Liter Farbe. Wenn jeder Liter eine ganze Wandfläche abdeckt, wie viele ganze Wände kann er streichen und wie viel Farbe bleibt übrig?
c) Lauftraining: Marie läuft \(\frac{9}{5}\) Kilometer jeden Tag. Wie viele ganze Kilometer und wie viele zusätzliche Meter läuft sie täglich?
d) Saftmischen: Ein Getränkerezept verlangt \(\frac{11}{3}\) Liter Orangensaft. Wie viele ganze Liter und wie viel zusätzlicher Saft wird benötigt?
e) Holz schneiden: Ein Zimmermann muss ein \(\frac{15}{2}\) Meter langes Holzbrett zurechtschneiden. In wie viele ganze Meter-Stücke kann er es schneiden und wie lang ist das übrig gebliebene Stück?
f) Tortenstücke: Auf einer Party werden \(\frac{12}{5}\) Torten serviert. Wenn jede Torte in fünf gleich große Stücke geteilt wird, wie viele ganze Torten und wie viele zusätzliche Stücke gibt es?
g) Stoffverkauf: Ein Stoffladen verkauft \(\frac{18}{4}\) Meter eines bestimmten Stoffes. Wie viele ganze Meter und wie viel Reststoff werden verkauft?
h) Paketlieferung: Ein Kurierdienst hat \(\frac{14}{3}\) Stunden, um Pakete auszuliefern. Wie viele ganze Stunden und wie viele zusätzliche Minuten sind das?
Aufgabe 4: Anwendungsaufgaben (umgekehrt)
a) Gartenarbeit: In Karins Garten gibt es \(2\frac{3}{5}\) Reihen Erdbeerpflanzen. Wenn jede Reihe als ein Fünftel betrachtet wird, wie viele Fünftel-Reihen sind das insgesamt?
b) Langstreckenlauf: Ein Athlet trainiert für einen Marathon und läuft an einem Tag \(4\frac{1}{6}\) Stunden. Wie viele Sechstelstunden hat er insgesamt trainiert?
c) Holzwerkstatt: Ein Tischler sägt \(3\frac{7}{8}\) Meter lange Holzbalken. In wie viele Achtel-Meter-Stücke könnte er diese Balken theoretisch sägen?
d) Kochrezept: Für ein Rezept benötigt man \(5\frac{2}{9}\) Tassen Mehl. Wie viele Neuntel-Tassen Mehl sind das insgesamt?
e) Buchlesen: Linda liest ein Buch und schafft \(7\frac{5}{7}\) Seiten pro Stunde. Wie viele Siebtelseiten hat sie nach einer Stunde gelesen?
f) Autofahrt: Ein Autofahrer fährt \(6\frac{4}{10}\) Stunden zu seinem Ziel. Wie viele Zehntelstunden entspricht dies?
g) Marmeladenherstellung: Bei der Herstellung von Marmelade werden \(2\frac{3}{4}\) Kilogramm Erdbeeren benötigt. Wie viele Viertelkilogramm Erdbeeren sind das?
h) Wanderung: Eine Gruppe wandert \(3\frac{1}{3}\) Stunden auf einem Bergpfad. Wie viele Drittelstunden haben sie insgesamt gewandert?