Multiplikation von Brüchen mit Brüchen
Einstieg - Flamix braucht Heilung!
Der Kampf gegen Rockos Onix war zu heftig – Flamix hat verloren und ist stark geschwächt.
Zum Glück hast du noch ein paar Heiltränke im Beutel.
Doch es gibt ein Problem:
- Ein ganzer Heiltrank würde Flamix \(\frac{1}{2}\) seiner Lebenspunkte zurückgeben.
- Du hast aber nur noch \(\frac{2}{3}\) eines Heiltranks übrig.
👉 Wie viel Lebensenergie bekommt Flamix also wirklich zurück?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir zum ersten Mal einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.
Was ist denn die Hälfte von \(\frac{2}{3}\)?
Die Hälfte von \(\frac{2}{3}\) ist nur noch \(\frac{1}{3}\)
Rechnung:
\[\Large \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
Merkkasten [TIMER:600]
Definition: Multiplikation Bruch mal Bruch
Um zwei Brüche zu multiplizieren, multipliziere die Zähler miteinander und die Nenner miteinander.
\[\Large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\]
Beispiel
\[\Large \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{8} = \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 8} = \frac{21}{48} \overset{:3}{=} \frac{7}{16}\]
Aufgabe 1: Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Aufgabe 2: Vereinfache die Ausdrücke, indem du zuerst multiplizierst und anschließend kürzt, falls möglich.
| a) \(\large\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \) | b) \(\large\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \) |
| c) \(\large\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \) | d) \(\large\frac{4}{9} \cdot \frac{6}{8} = \) |
| e) \(\large\frac{2}{4} \cdot \frac{5}{10} = \) | f) \(\large\frac{7}{10} \cdot \frac{3}{7} = \) |
| g) \(\large\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} = \) | h) \(\large\frac{4}{5} \cdot \frac{9}{10} = \) |
| i) \(\large\frac{3}{8} \cdot \frac{6}{9} = \) | j) \(\large\frac{2}{5} \cdot \frac{7}{14} = \) |
Lösung:
| \(\frac{8}{15}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{6}{35}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(\frac{3}{10}\) | \(\frac{5}{18}\) | \(\frac{18}{25}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{5}\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
Aufgabe 3 ( ): Berechne und kürze anschließend so weit wie möglich.
| a) \(\frac{12}{3} \cdot \frac{15}{6} =\) | b) \(\frac{25}{10} \cdot \frac{36}{18} =\) |
| c) \(\frac{3}{7} \cdot \frac{4}{9} =\) | d) \(\frac{8}{5} \cdot \frac{10}{2} =\) |
| e) \(\frac{16}{8} \cdot \frac{15}{25} =\) | f) \(\frac{21}{14} \cdot \frac{2}{3} =\) |
| g) \(\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{3} =\) | h) \(\frac{7}{8} \cdot \frac{16}{14} =\) |
| i) \(\frac{10}{9} \cdot \frac{18}{6} =\) | j) \(\frac{14}{5} \cdot \frac{6}{7} =\) |
| k) \(\frac{35}{7} \cdot \frac{20}{5} =\) | l) \(\frac{9}{6} \cdot \frac{14}{21} =\) |
Lösung:
| \(\frac{10}{9}\) | \(\frac{12}{5}\) | \(\frac{4}{21}\) | \(\frac{6}{5}\) |
| \(\frac{10}{3}\) | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 8 | 10 | 20 |
Aufgabe 4 ( ): Berechne und kürze so weit wie möglich.
| a) \(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \) | b) \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7} = \) |
| c) \(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} = \) | d) \(\frac{4}{9} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{3}{4} = \) |
| e) \(\frac{2}{4} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{1}{5} = \) | f) \(\frac{7}{10} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5} = \) |
| g) \(\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5} = \) | h) \(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \) |
| i) \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{4}{5} = \) | j) \(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6} = \) |
| k) \(\frac{4}{9} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{9} = \) | l) \(\frac{2}{4} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{7} = \) |
Lösung:
| \(\frac{4}{15}\) | \(\frac{3}{28}\) | \(\frac{2}{35}\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(\frac{1}{20}\) | \(\frac{3}{25}\) | \(\frac{8}{45}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| \(\frac{3}{35}\) | \(\frac{1}{21}\) | \(\frac{7}{36}\) | \(\frac{3}{140}\) |
Merkkasten [TIMER:1200]
Kürzen über Kreuz
Beim Kürzen über Kreuz kannst du Zähler und Nenner beliebiger Brüche in einer Multiplikation kürzen, indem du sie durch dieselbe Zahl teilst.
Beispiel:
\[\begin{align*}\frac{3}{\color{red}{4}} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{\color{red}{8}}{10} &\overset{:4}{=} \frac{\color{red}{3}}{1} \cdot \frac{5}{\color{red}{6}} \cdot \frac{2}{10}\\ \\ &\overset{:3}{=} \frac{1}{1} \cdot \frac{\color{red}{5}}{2} \cdot \frac{2}{\color{red}{10}}\\ \\ &\overset{:5}{=} \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}}\\ \\ &\overset{:2}{=} \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}\\ \\&= \frac{1}{2}\end{align*}\]
Aufgabe 5: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Aufgabe 6 ( ): Kürze, bevor du multiplizierst.
| a) \(\frac{2}{4} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{6}\) | g) \(\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{22}{12}\) |
| b) \(\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{10}\) | h) \(\frac{9}{12} \cdot \frac{6}{27}\) |
| c) \(\frac{6}{9} \cdot \frac{9}{15} \cdot \frac{5}{12}\) | i) \(\frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3} \cdot \frac{6}{8}\) |
| d) \(\frac{7}{8} \cdot \frac{16}{24} \cdot \frac{12}{21}\) | j) \(\frac{5}{12} \cdot \frac{3}{15}\) |
| e) \(\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{6}\) | k) \(\frac{6}{8} \cdot \frac{12}{9} \cdot \frac{16}{15}\) |
| f) \(\frac{2}{3} \cdot \frac{15}{8} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{3}\) | l) \(\frac{2}{5} \cdot \frac{10}{6} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{14}{8}\) |
Lösung:
| \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{12}\) | \(\frac{16}{15}\) |
| \(\frac{1}{2}\) | 2 | 1 | 1 |
Merkkasten und Aufgaben / Übung [TIMER:1200]
Erklärung: Textaufgaben und das Wort "von"
In Textaufgaben mit Brüchen und Anteilen bedeutet “von”, dass multipliziert werden muss.
Beispiel
Marko möchte \(\frac{1}{3}\) seines Gartens als Gemüsebeete anlegen. \(\frac{1}{7}\) von dieser Fläche soll mit Salatköpfen bepflanzt werden.
Gegeben: \(\frac{1}{3}\) der Gartenfläche soll zum Beet umfunktioniert werden. Davon werden \(\frac{1}{7}\) mit Salaköpfen bepflanzt.
Gesucht: Der Anteil der Fläche für Salatköpfe am gesamten Garten.
Rechnung: \[\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21}\]
Antwort: Marko wird also \(\frac{1}{21}\) seines Gartens mit Salatköpfen bepflanzen.
Aufgabe 7: Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Aufgabe 8 ( ):
| a) Lena möchte \(\frac{3}{5}\) ihres Gartens für Blumenbeete nutzen. \(\frac{2}{3}\) von dieser Fläche plant sie mit Rosen zu bepflanzen. Berechne den verwendeten Anteil des Gartens für Rosen. |
| b) Ein Lehrer hat \(\frac{4}{7}\) der Schulmaterialien für eine Projektwoche reserviert. \(\frac{1}{4}\) von diesen Materialien sollen für Kunstprojekte genutzt werden. Berechne den Anteil der Materialien für Kunstprojekte. |
| c) Emma hat \(\frac{3}{8}\) ihres Teiges für Plätzchen beiseitegelegt. \(\frac{2}{5}\) von diesem Teig wird für Schokoplätzchen verwendet. Berechne den Anteil am Teig für Schokoplätzchen. |
| d) Paul nutzt \(\frac{5}{9}\) seiner Lernzeit für Mathematik. \(\frac{3}{5}\) von dieser Zeit verwendet er zum Üben von Bruchaufgaben. Berechne den Anteil der gesamten Zeit für Bruchaufgaben. |
| e) Ein Schulprojekt hat ein Budget, von dem \(\frac{2}{3}\) für Materialien vorgesehen ist. \(\frac{3}{4}\) von diesem Betrag wird für Bastelmaterialien ausgegeben. Berechne den Anteil des Budgets für Bastelmaterialien. |
| f) Ein Sportler trainiert \(\frac{4}{7}\) seiner Wochenzeit für Konditionstraining. \(\frac{5}{8}\) von dieser Zeit ist für Laufen reserviert. Berechne den Anteil der gesamten Wochenzeit fürs Laufen. |
| g) Ein Frucht-Cocktail besteht zu \(\frac{2}{3}\) aus Saft. \(\frac{1}{2}\) von diesem Saft ist Orangensaft. Berechne den Anteil des Orangensafts am gesamten Cocktail. |
Lösung (Aufgabe 8):
| \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{3}{20}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{5}{14}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{2}\) |