Binomische Formeln
Binomische Formeln ( )
Aufgabe 1: Schreibe die Ausdrücke jeweils ohne Klammern und fasse sie möglichst weit zusammen.
\(\huge\begin{align*} &(a+b)(a+b)\\ =&\\=&\end{align*}\)
\(\huge\begin{align*} &(a-b)(a-b)\\ =&\\=&\end{align*}\)
\(\huge\begin{align*} &(a+b)(a-b)\\ =&\\=&\end{align*}\)
\(\huge\begin{align*} &(a-b)(a+b)\\ =&\\=&\end{align*}\)
Ergebnissicherung
\[\Large\begin{align*} &(a+b)(a+b)\\ \\ =&aa \underbrace{+ ab + ab}_{+2ab} + bb\\ \\=& a^2 + 2ab + b^2\end{align*}\]
\[\Large\begin{align*} &(a-b)(a-b)\\ \\ =&aa \underbrace{- ab - ab}_{-2ab} + bb\\ \\=& a^2 - 2ab + b^2\end{align*}\]
\[\Large\begin{align*} &(a+b)(a-b)\\ \\ =&aa \underbrace{-ab + ab}_{0} - bb\\ \\=&a^2 - b^2\end{align*}\]
\[\Large\begin{align*} &(a-b)(a+b)\\ \\ =&aa \underbrace{-ab + ab}_{0} - bb\\ \\=&a^2 - b^2\end{align*}\]
Merkkasten [TIMER:360]
Aufgabe 2: Übertrage die Merkkästen in dein Heft.
1. binomische Formel
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
2. binomische Formel
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
3. binomische Formel
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
Aufgaben / Übung [TIMER:720]
Aufgabe 3: Verwende die erste oder zweite binomische Formel, um aus dem Ausdruck eine Summe zu bilden.
| a) \( (f + w)^2= \) | b) \( (x - b)^2= \) |
| c) \( (u + a)^2= \) | d) \( (l - n)^2= \) |
| e) \( (c + f)^2= \) | f) \( (k - z)^2= \) |
| g) \( (f + l)^2= \) | h) \( (q - c)^2= \) |
| i) \( (z + f)^2= \) | j) \( (w - y)^2= \) |
| k) \( (p + n)^2= \) | l) \( (d - q)^2= \) |
| m) \( (s + x)^2= \) | n) \( (n - g)^2= \) |
| o) \( (m + y)^2= \) | p) \( (n - a)^2= \) |
Aufgabe 4: Schreibe als Quadrat eines Binoms.
| a) \(c^2 + 2ct + t^2= \) | b) \(x^2 - 2xi + i^2= \) |
| c) \(p^2 + 2pa + a^2= \) | d) \(b^2 - 2bq + q^2= \) |
| e) \(c^2 + 2cm + m^2= \) | f) \(b^2 - 2bq + q^2= \) |
| g) \(j^2 + 2jo + o^2= \) | h) \(f^2 - 2fl + l^2= \) |
| i) \(h^2 + 2hn + n^2= \) | j) \(v^2 - 2vf + f^2= \) |
| k) \(g^2 + 2gd + d^2= \) | l) \(i^2 - 2if + f^2= \) |
| m) \(m^2 + 2mk + k^2= \) | n) \(q^2 - 2qr + r^2= \) |
| o) \(c^2 + 2cn + n^2= \) | p) \(m^2 - 2mp + p^2= \) |
Aufgaben / Übung [TIMER:1020]
1. binomische Formel
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
Aufgabe 5: Wende die erste binomische Formel an.
| a) \((a + b)^2= \) | b) \((x + y)^2= \) |
| c) \((x + 2)^2= \) | d) \((x + 3)^2= \) |
| e) \((x + 4)^2= \) | f) \((x + 5)^2= \) |
| g) \((2x + 1)^2= \) | h) \((2x + 2)^2= \) |
| i) \((3x + 4)^2= \) | j) \((4x + 5)^2= \) |
| k) \((2x + 5)^2= \) | l) \((2x + 7)^2= \) |
| m) \((4x + 2)^2= \) | n) \((5x + 3)^2= \) |
| o) \((x + 1)^2= \) | p) \((x + 2)^2= \) |
Aufgabe 6: Wende die erste binomische Formel an, um die Summe in eine Klammer zu schreiben.
| a) \(x^2 + 2x + 1= \) | b) \(x^2 + 4x + 4= \) |
| c) \(x^2 + 6x + 9= \) | d) \(x^2 + 8x + 16= \) |
| e) \(x^2 + 10x + 25= \) | f) \(x^2 + 12x + 36= \) |
| g) \(x^2 + 14x + 49= \) | h) \(x^2 + 16x + 64= \) |
| i) \(4x^2 + 4x + 1= \) | j) \(4x^2 + 8x + 4= \) |
| k) \(9x^2 + 12x + 4= \) | l) \(9x^2 + 18x + 9= \) |
| m) \(16x^2 + 32x + 16= \) | n) \(25x^2 + 50x + 25= \) |
| o) \(x^2 + 20x + 100= \) | p) \(x^2 + 22x + 121= \) |
Aufgaben / Übung [TIMER:1200]
2. binomische Formel
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Aufgabe 7: Wende die zweite binomische Formel an.
| a) \((a - b)^2= \) | b) \((x - 4)^2= \) |
| c) \((x - 5)^2= \) | d) \((2x - 1)^2= \) |
| e) \((2x - 2)^2= \) | f) \((3x - 3)^2= \) |
| g) \((3x - 4)^2= \) | h) \((4x - 5)^2= \) |
| i) \((5x - 6)^2= \) | j) \((x - 7)^2= \) |
| k) \((2x - 8)^2= \) | l) \((3x - 9)^2= \) |
| m) \((4x - 10)^2= \) | n) \((5x - 2)^2= \) |
| o) \((x - 11)^2= \) | p) \((2x - 12)^2= \) |
Aufgabe 8: Wende die zweite binomische Formel rückwärts an.
| a) \(x^2 - 6x + 9= \) | b) \(x^2 - 8x + 16= \) |
| c) \(x^2 - 10x + 25= \) | d) \(x^2 - 12x + 36= \) |
| e) \(x^2 - 14x + 49= \) | f) \(x^2 - 18x + 81= \) |
| g) \(x^2 - 20x + 100= \) | h) \(x^2 - 24x + 144= \) |
| i) \(4x^2 - 20x + 25= \) | j) \(4x^2 - 24x + 36= \) |
| k) \(9x^2 - 30x + 25= \) | l) \(9x^2 - 36x + 36= \) |
| m) \(16x^2 - 40x + 25= \) | n) \(25x^2 - 70x + 49= \) |
| o) \(x^2 - 28x + 196= \) | p) \(x^2 - 30x + 225= \) |
Aufgaben / Übung [TIMER:1080]
3. binomische Formel
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
Aufgabe 9: Vereinfache mithilfe der dritten binomischen Formel.
| a) \((a + b)(a - b)= \) | b) \((x + 2)(x - 2)= \) |
| c) \((x + 3)(x - 3)= \) | d) \((x + 4)(x - 4)= \) |
| e) \((x + 5)(x - 5)= \) | f) \((x + 6)(x - 6)= \) |
| g) \((2x + 3)(2x - 3)= \) | h) \((2x + 4)(2x - 4)= \) |
| i) \((3x + 2)(3x - 2)= \) | j) \((3x + 5)(3x - 5)= \) |
| k) \((4x + 1)(4x - 1)= \) | l) \((4x + 6)(4x - 6)= \) |
| m) \((5x + 2)(5x - 2)= \) | n) \((5x + 3)(5x - 3)= \) |
| o) \((x + 7)(x - 7)= \) | p) \((2x + 5)(2x - 5)= \) |
Aufgabe 10: Faktorisiere mithilfe der dritten binomischen Formel.
| a) \(x^2 – 1= \) | b) \(x^2 - 4= \) |
| c) \(x^2 - 9= \) | d) \(x^2 - 16= \) |
| e) \(x^2 - 25= \) | f) \(x^2 - 36= \) |
| g) \(x^2 - 49= \) | h) \(x^2 - 64= \) |
| i) \(4x^2 - 1= \) | j) \(4x^2 - 9= \) |
| k) \(9x^2 - 4= \) | l) \(9x^2 - 16= \) |
| m) \(16x^2 - 9= \) | n) \(25x^2 - 4= \) |
| o) \(x^2 - 81= \) | p) \(x^2 - 100= \) |
Aufgabe 11 (ohne ): Wende die erste oder zweite binomische Formel an, um die Quadratzahl im Kopf zu berechnen.
| Beispiel: | |
| \(\begin{align*}(25)^2 &= (20 + 5)^2\\ &= 20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 5 + 5^2\\ &= 400 + 200 + 25\\ &= 625\end{align*}\) | \(\begin{align*}(25)^2 &= (30 - 5)^2\\ &= 30^2 - 2 \cdot 30 \cdot 5 + 5^2\\ &= 900 - 300 + 25\\ &= 625\end{align*} \) |
| a) \((137)^2 = (140 – 3)^2 = \ldots \) | b) \((61)^2 = \) |
| c) \((113)^2 = \) | d) \((101)^2 = \) |
| e) \((121)^2 = \) | f) \((39)^2 = \) |
| g) \((116)^2 = \) | h) \((76)^2 = \) |
| i) \((62)^2 = \) | j) \((112)^2 = \) |
| k) \((22)^2 = \) | l) \((21)^2 = \) |
| m) \((99)^2 = \) | n) \((105)^2 = \) |
| o) \((36)^2 = \) | p) \((86)^2 = \) |
| q) \((119)^2 = \) | r) \((31)^2 = \) |
Aufgabe 10 (ohne ): Wende die dritte binomische Formel an, um die Differenz der Quadratzahlen im Kopf zu berechnen.
Beispiel: \(\begin{align*}&2024^2 - 2023^2\\=&(2024 + 2023)(2024 - 2023)\\ =& 4047 \cdot 1\\ =& 4047\end{align*}\) |
| a) \(104^2 – 98^2 = \) | b) \(110^2 - 105^2= \) |
| c) \(88^2 - 81^2= \) | d) \(94^2 - 101^2= \) |
| e) \(130^2 - 121^2= \) | f) \(147^2 - 143^2= \) |
| g) \(125^2 - 122^2= \) | h) \(62^2 - 53^2= \) |
| i) \(146^2 - 140^2= \) | j) \(52^2 - 50^2= \) |
| k) \(133^2 - 130^2= \) | l) \(53^2 - 45^2= \) |
| m) \(88^2 - 85^2= \) | n) \(92^2 - 95^2= \) |
| o) \(69^2 - 64^2= \) | p) \(58^2 - 52^2= \) |
| q) \(145^2 - 138^2= \) | r) \(22^2 - 21^2= \) |
| s) \(87^2 - 77^2= \) | t) \(74^2 - 70^2= \) |
Aufgabe 11 ( | | ): Durch kollaborative Arbeit das Verständnis von binomischen Formeln vertiefen
Vorbereitung:
- Jeder Schüler notiert eigenständig 10 Aufgaben zu den binomischen Formeln.
- Wähle für jede Aufgabe eine der drei binomischen Formeln.
Speeddating-Phase:
- Die Klasse wird in Paare aufgeteilt. Jedes Paar sitzt sich gegenüber.
- Zu Beginn tauscht jeder Schüler seinen Zettel mit den 10 notierten Aufgaben mit dem Speeddatingpartner aus.
- Jeder wählt nun aus den 10 Aufgaben des Partners eine aus, die er lösen möchte. Die Auswahl sollte schnell erfolgen, damit genügend Zeit für die Berechnung bleibt.
- Nachdem eine Aufgabe gelöst wurde, präsentiert jeder Schüler seine Lösung dem Partner. Diskutiert gemeinsam über den Lösungsweg und helft euch gegenseitig, Fehler zu verstehen und zu korrigieren.
Wechsel der Partner:
- Nach etwa 3 Minuten wird gewechselt, sodass jeder Schüler einen neuen Partner bekommt und wiederum Aufgaben vom neuen Partner auswählen kann.
- Dieser Prozess wird so lange wiederholt, bis alle Schüler mit mehreren Partnern gearbeitet haben
Weitere Übungen
Westermann Mathematik 8 MV (2020)
| Thema | Buch | Arbeitsheft |
|---|---|---|
| 1. binomische Formel | S. 18 | 2 - 8 | S. 7 | 1 - 3 |
| 2. binomische Formel | S. 19 | 1 - 7 | S. 7 | 1 - 3 |
| 3. binomische Formel | S. 20 | 1 - 7 | S. 7 | 1 - 3 |