Rechenvorteile der Multiplikation und Division
Einstieg
Stellt euch vor, ihr seid dabei, euren Garten neu zu gestalten. Ihr habt einige Blumenbeete, die ihr mit Erde befüllen müsst. Ihr habt zwei Beete mit verschiedenen Längen, Breiten und Tiefen, die erneuert werden müssen. Eure Aufgabe ist es, die Menge der benötigten Erde sinnvoll und vorteilhaft zu berechnen.
Beete:
- Länge: 5 Meter, Breite: 3 Meter, Tiefe: 0,2 Meter
- Länge: 4 Meter, Breite: 2,5 Meter, Tiefe: 0,3 Meter
Ergebnissicherung
Vorteilhaft rechnen:
\(\Large\begin{align*}&5 \cdot 3 \cdot 0,2 \\=&5 \cdot 0,2 \cdot 3\\=&(5 \cdot 0,2) \cdot 3\\=&1 \cdot 3 = 3\end{align*}\)
\(\Large\begin{align*}&4 \cdot 2,5 \cdot 0,3 \\=&(4 \cdot 2,5) \cdot 0,3\\=&10 \cdot 0,3 = 3\end{align*}\)
Die Erde wird pro Kubikmeter verkauft. Ihr könnt die Reihenfolge Faktoren der Multiplikation ändern und die Maße so kombinieren, dass ihr die Menge der benötigten Erde effizient berechnet. Ziel ist es, die vorteilhafteste Reihenfolge der Multiplikation zu finden, um das Ergebnis schnell und genau zu erhalten.
Definition: Rechengesetze der Multiplikation
Kommutativgesetz
Das Kommutativgesetz besagt, dass man innerhalb eines Produkts die Elemente beliebig vertauschen darf, ohne dabei das Ergebnis zu verändern.
\[\begin{align*}17\cdot 4&=4 \cdot 17\\68&=68\checkmark\end{align*}\]
Allgemein:
\[a\cdot b=b\cdot a\]
Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz besagt, dass man innerhalb eines Produkts die Elemente beliebig miteinander verknüpfen darf, ohne dabei das Ergebnis zu verändern.
\[\begin{align*}(8\cdot 3)\cdot 7&=8\cdot (3\cdot 7)\\24 \cdot 7&=8 \cdot 21\\168&=168\checkmark\end{align*}\]
Allgemein:
\[(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Vergleiche jeweils die beiden Rechenwege. Entscheide und begründe schriftlich, für welchen der beiden Wege du dich entscheiden würdest.
a)
\(\begin{align*}&17 \cdot 20 \cdot 5\\=&(17 \cdot 20) \cdot 5\\=&340 \cdot 5\\=& 1700\end{align*}\)
\(\begin{align*}&17 \cdot 20 \cdot 5\\=&17 \cdot (20 \cdot 5)\\=& 17 \cdot 100 \\=& 1700\end{align*}\)
b)
\(\begin{align*}&5 \cdot 23 \cdot 2\\=&(5 \cdot 23) \cdot 2\\=&115 \cdot 2\\=& 230 \\ \end{align*}\)
\(\begin{align*}&5 \cdot 23 \cdot 2\\=& 5 \cdot 2 \cdot 23\\=&(5 \cdot 2) \cdot 23\\=& 10 \cdot 23 \\=& 230\end{align*}\)
Aufgabe 2: Rechne vorteilhaft. Vertausche zunächst die Faktoren, falls nötig, und klammere dann ein.
a)
\(\begin{align*}29 \cdot 50 \cdot 2\\5\cdot2\cdot37\\13\cdot200\cdot 5\\35\cdot20\cdot 50\end{align*}\)
b)
\(\begin{align*}18\cdot 4\cdot 25\\42\cdot 5\cdot 20\\82\cdot 250\cdot 4\\200\cdot 5\cdot 57\end{align*}\)
c)
\(\begin{align*}2\cdot 49\cdot 5\\25\cdot 9\cdot 4\\20\cdot 37\cdot 5\\20\cdot 13\cdot 50\end{align*}\)
d)
\(\begin{align*}5\cdot 20\cdot 17\\250\cdot 19\cdot 4\\50\cdot 32\cdot 20\\500\cdot 45\cdot 2\end{align*}\)
e)
\(\begin{align*}40\cdot 8\cdot 25 \\125\cdot 8\cdot 6\\40\cdot 50\cdot 45\\70\cdot 25\cdot 8\end{align*}\)
f)
\(\begin{align*}4\cdot 3\cdot 7\cdot 25\\25\cdot 9\cdot 2\cdot 2\\5\cdot 4\cdot 34\cdot 5\\25\cdot 17\cdot 5\cdot 8\end{align*}\)
Lösung
370, 490, 900, 900, 1300, 1300, 1700, 1700, 1800, 1900, 2100, 2900, 3200, 3400, 3500, 3700, 4200, 4500, 5700, 6000, 8000, 8200, 9000, 14000
Aufgabe 3: Berechne. Bei gleichwertigen Rechenzeichen rechne immer von links nach rechts!
a)
\(\large\begin{align*}6 \cdot 3 : 2 \cdot 4 : 2=\\16 \cdot 2 : 4 \cdot 5 : 2=\\20 \cdot 5 : 4 \cdot 2 : 2=\\12 \cdot 6 : 2 \cdot 3 : 3=\\15 \cdot 3 : 5 \cdot 2 : 2=\\10 \cdot 4 : 5 \cdot 2 : 2=\end{align*}\)
b)
\(\large\begin{align*}18 \cdot 3 : 2 \cdot 2 : 3=\\8 \cdot 4 : 2 \cdot 4 : 2=\\14 \cdot 2 : 7 \cdot 1 : 2=\\9 \cdot 3 : 3 \cdot 2 : 3=\\5 \cdot 2 : 2 \cdot 5 : 2=\\21 \cdot 7 : 3 \cdot 3 : 3=\end{align*}\)
c)
\(\large\begin{align*}24 \cdot 4 : 4 \cdot 2 : 2=\\30 \cdot 2 : 3 \cdot 5 : 2=\\27 \cdot 3 : 9 \cdot 1 : 3=\\36 \cdot 2 : 2 \cdot 3 : 2=\\42 \cdot 7 : 6 \cdot 3 : 2=\\48 \cdot 4 : 2 \cdot 6 : 2=\end{align*}\)
d)
\(\large\begin{align*}54 \cdot 6 : 9 \cdot 3 : 3=\\66 \cdot 3 : 3 \cdot 2 : 6=\\72 \cdot 8 : 4 \cdot 6 : 2=\\81 \cdot 9 : 9 \cdot 1 : 3=\\90 \cdot 5 : 5 \cdot 2 : 2=\\99 \cdot 3 : 3 \cdot 3 : 11=\end{align*}\)
Weitere Übungen
Dreifach Mathe
| Thema | * | ** | *** |
|---|---|---|---|
| Rechenvorteile | S. 129 | S. 130 | S. 131 |