Zahlenfolgen
Einstieg
Ein Kartenhaus ist ein Gebilde aus einzelnen Karten, die ästhetisch gegeneinander gestellt werden. Je weiter unten man das Kartenhaus betrachtet, desto mehr Karten werden insgesamt benötigt.
Zusätzlich werden immer mehr Karten für die Zwischenböden verlangt.
a) Berechne die Anzahl der Karten, die für ein einstöckiges bis vierstöckiges Kartenhaus benötigt werden
b) Beschreibe die Regelmäßigkeit, mit der die Kartenmenge pro Etage nach unten zunimmt.
c) Gib die benötigte Kartenmenge für 5 bis 10-stöckige Kartenhäuser an.
d*) Ein Skatspiel beinhaltet 32 Spielkarten. Ab welcher Stufe benötigt man ein sechstes Skatblatt.
Erarbeitung: Die "Zuckerwürfelpyramide"
Schließt euch in 4er Gruppen zusammen. Baut mit den mitgebrachten bunten Steinen eine möglichst hohe Pyramide. Notiert für jede vollständige Pyramide die Anzahl der Etagen und die Anzahl der verwendeten Steine in einer Tabelle.
| Etage | Steine |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
| $$\ldots$$ | $$\ldots$$ |
Definition: Zahlenfolge
Eine Menge von Zahlen mit festgelegter Reihenfolge heißt Zahlenfolge.
Die natürlichen Zahlen.
$$0,1,2,3,4,5,6,\ldots$$
Geraden Zahlen.
$$0,2,4,6,\ldots$$
Ungeraden Zahlen.
$$1,3,5,7,\ldots$$
Quadratzahlen
$$0,1,4,9,16,25,36,\ldots$$
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1:
a) Berechne die Anzahl der Kästchen pro Stufe, indem du die Seitenlänge (n) mit sich selbst multiplizierst und stelle deine Ergebnisse in einer Tabelle dar.
b) Beschreibe den Zuwachs pro Stufe mithilfe einer eigenen Zahlenfolge. Beschreibe diese zusätzlich mit Worten.
c) Zeichne das Quadratmuster der Animation in dein Heft und füge entsprechend die nächsten Quadrate hinzu.
| n | n² | Zuwachs zur nächsten Stufe |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 3 |
| 2 | 4 | 5 |
| 3 | ... | ... |
| ... | ... | ... |
| 10 | ... | ... |
Lösung zu Aufgabe 1
| n | n² | Änderung zur nächsten Stufe |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 3 |
| 2 | 4 | 5 |
| 3 | 9 | 7 |
| 4 | 16 | 9 |
| 5 | 25 | 11 |
| 6 | 36 | 13 |
| 7 | 49 | 15 |
| 8 | 64 | 17 |
| 9 | 81 | 19 |
| 10 | 100 | 21 |
| ... | ... | ... |
Aufgabe 2: Ergänze jeweils die nächsten drei Zahlen.
a) \(3,6,12,24,\ldots\)
b) \(50,43,36,29,\ldots\)
c) \(11,26,41,56,\ldots\)
d) \(17,19,23,29, \ldots\)
Aufgabe 3: Bestimme die nächsten drei Folgeglieder und gib eine Regel an, nach der sie gebildet wird.
a)
\(2,7,12,17,\ldots\)
\(5,14,23,32,\ldots\)
\(2,15,28,41,\ldots\)
b)
\(50,47,44,41,\ldots\)
\(192,96,48,24,\ldots\)
\(113,99,85,71,\ldots\)
c)
\(20,17,16,13,12,\ldots\)
\(3,7,5,9,7,11,\ldots\)
\(4,9,5,10,6,11,\ldots\)
d)
\(1,10,100,1000,\ldots\)
\(1,11,111,1111,\ldots\)
\(1,12,121,1212,\ldots\)
Lösung zu Aufgabe 2 - 3
a) \(3,6,12,24,\color{red}48,96,192\color{black},\ldots\)
b) \(50,43,36,29,\color{red}22,15,8\color{black},\ldots\)
c) \(11,26,41,56,\color{red}61,76,91\color{black},\ldots\)
d) \(17,19,23,29, \color{red}37,47,59\color{black},\ldots\)
a)
\(2,7,12,17,\color{red}22,27,32\color{black},\ldots\)
\(5,14,23,32,\color{red}41,50,59\color{black},\ldots\)
\(2,15,28,41,\color{red}54,67,80\color{black},\ldots\)
b)
\(50,47,44,41,\color{red}38,35,32\color{black},\ldots\)
\(192,96,48,24,\color{red}12,6,3\color{black}\)
\(113,99,85,71,\color{red}57,43,29\color{black},\ldots\)
c)
\(20,17,16,13,12,\color{red}9,8,5\color{black},\ldots\)
\(3,7,5,9,7,11,\color{red}9,13,11\color{black},\ldots\)
\(4,9,5,10,6,11,\color{red}7,12,8\color{black},\ldots\)
d)
\(1,10,100,1000,\color{red}10.000,100.000,1.000.000\color{black},\ldots\)
\(1,11,111,1111,\color{red}11111,111111,1111111\color{black},\ldots\)
\(1,12,121,1212,\color{red}12121,121212,1212121\color{black},\ldots\)
Aufgabe 4:
Maria und Martin setzen die Zahlenfolge 3, 5, 7, 6, … um sechs Zahlen fort.
Maria schreibt: 3,5,7,6,5,7,9,8,7,9,…
Martin schreibt: 3,5,7,6,8,10,9,11,13,12,…
Beschreibe die Regeln, die von den Schülern angewandt wurden.
Falls ein Schüler einen Fehler gemacht hat, beschreibe diesen und stelle die Zahlenfolge richtig.
Aufgabe 5:
Setze die Folgen jeweils um 3 Folgeglieder fort.
a) 2, 12, 120, 130, 1300, 1310, …
b) 1, 1, 2, 6, 24, 120, …
c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Aufgabe 6:
Lb S. 220 | Merkkasten abschreiben + 48 + 49
Lb S. 32 | 1 und Lb S. 123 | 8
Aufgabe 7:
Gib jeweils die ersten sechs Folgenglieder an.
a) Die erste Zahl ist 4. Jede nachfolgende Zahl ist um 10 größer als der Vorgänger.
b)Die Folge fängt mit 3 an. Wenn du zu einer Zahl der Folge 7 addierst, erhältst du die nächste Zahl.
c) Die Folge beginnt mit 1. Jede nachfolgende Zahl ist doppelt so groß wie ihr Vorgänger.
d) Wenn du eine Zahl der Folge mit 3 multiplizierst, erhältst du die nächste Zahl. Die erste Zahl ist 2.
e) Die erste Zahl ist 256. Jede nachfolgende Zahl ist halb so groß wie ihr Vorgänger.
f) Jede Zahl ist um 9 kleiner als ihr Nachfolger. Die Folge beginnt mit 100.
g) Jede Zahl ist halb so groß wie ihr Nachfolger. 5 ist die erste Zahl der Folge.